Cho n in N thỏa mãn Cn^1 + Cn^2 + ... + Cn^n = 1023.Tìm hệ số của x^2 trong khai triển [ ( 12 - n )x
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(n \in \mathbb{N}\) thỏa mãn \(C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 1023.\)Tìm hệ số của \({x^2}\) trong khai triển \({\left[ {\left( {12 - n} \right)x + 1} \right]^n}\) thành đa thức
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\( + )\)\(C_n^1 + C_n^2 + ... + C_n^n = 1023\)
+) Ta có hệ quả từ câu 6: \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\\ \Leftrightarrow C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n} - 1\end{array}\)
\( \Leftrightarrow {2^n} - 1 = 1023\)\( \Leftrightarrow {2^n} = 1024 \Rightarrow n = 10\)
\( + )\)\({\left[ {\left( {12 - n} \right).x + 1} \right]^n} = {\left( {2x + 1} \right)^{10}}\)
\( + )\)Số hạng tổng quát thứ \(\left( {k + 1} \right)\) của khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_{10}^k.{\left( {2x} \right)^k}{.1^{10 - k}}\) \( = C_{10}^k{.2^k}.{x^k}{.1^{10 - k}}\)
+ Số hạng chứa \({x^2}\)\( \Rightarrow k = 2\)
\( \Rightarrow \)Hệ số của số hạng chứa\({x^2}\) là: \(C_{10}^2{.2^2}{.1^8} = 180\)
Chọn D.
