Tính giá trị của biểu thức M = 2^2016C2017^1 + 2^2014C2017^3 + 2^2012C2017^5 + ... + 2^0C2017^2017
Câu hỏi
Nhận biếtTính giá trị của biểu thức \(M = {2^{2016}}C_{2017}^1 + {2^{2014}}C_{2017}^3 + {2^{2012}}C_{2017}^5 + ... + {2^0}C_{2017}^{2017}\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(M = {2^{2016}}.C_{2017}^1 + {2^{2014}}.C_{2017}^3 + ... + {2^0}.C_{2017}^{2017}\)
\( + )\)Xét khai triển: \({\left( {2 + x} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{.2^{2017}}.{x^0} + C_{2017}^1{.2^{2016}}.{x^1} + C_{2017}^2{.2^{2015}}.{x^2} + ... + C_{2017}^{2017}{.2^0}.{x^{2017}}\)
\( + )\)Thay \(x = 1\) vào hai vế:
\({\left( {2 + 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{.2^{2017}} + C_{2017}^1{.2^{2016}} + C_{2017}^2{.2^{2015}} + ... + C_{2017}^{2017}{.2^0}\) \(\left( 1 \right)\)
\( + )\)Thay \(x = - 1\) vào hai vế:
\({\left( {2 - 1} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{.2^{2017}} - C_{2017}^1{.2^{2016}} + C_{2017}^2{.2^{2015}} - ... - C_{2017}^{2017}{.2^0}\) \(\left( 2 \right)\)
Lấy \(\left( 1 \right)\)trừ \(\left( 2 \right)\):
\({3^{2017}} - 1 = 2C_{2017}^1{.2^{2016}} + 2C_{2017}^3{.2^{2015}} + ... + 2C_{2017}^{2017}{.2^0}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{2017}} - 1}}{2} = C_{2017}^1{.2^{2016}} + C_{2017}^3{.2^{2015}} + ... + C_{2017}^{2017}{.2^0}\)
\( \Leftrightarrow P = \dfrac{{{3^{2017}} - 1}}{2}\)
Chọn D.
