Giải bất phương trình f'( x ) > 0 biết f( x ) = 2x + căn 1 - x^2 .
Câu hỏi
Nhận biếtGiải bất phương trình \(f'\left( x \right) > 0\), biết \(f\left( x \right) = 2x + \sqrt {1 - {x^2}} .\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}DKXD:\,\, - 1 \le x \le 1\\f'\left( x \right) = 2 + \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {1 - {x^2}} }} = 2 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}\\f'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow 2 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} > 0\,\,\left( {x \in \left( { - 1;1} \right)} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} - x > 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {1 - {x^2}} > x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} > 0\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4\left( {1 - {x^2}} \right) > {x^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 1 < x < 1\\x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\5{x^2} < 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\dfrac{{ - 2}}{{\sqrt 5 }} < x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 1 < x < 0\\0 \le x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < x < \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\,\,\left( {tm\,\,DKXD} \right)\end{array}\)
Vậy nghiệm của BPT là: \(x \in \left( { - 1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right).\)
Chọn C.
