Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để dãy số un với un = căn 2n^2 + n - a căn 2n^2 - n
Câu hỏi
Nhận biếtTìm tất cả các giá trị của tham số thực \(a\) để dãy số \({u_n}\) với \({u_n} = \sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} \) có giới hạn hữu hạn.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét \(a \le 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{} {u_n} \ge \lim \sqrt {2{n^2} + n} = + \infty \), dãy số không có giới hạn hữu hạn.
Xét \(a > 0\) , ta có:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} = \frac{{\left( {\sqrt {2{n^2} + n} - a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)\left( {\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} } \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }}\\ = \frac{{2{n^2} + n - {a^2}\left( {2{n^2} - n} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }}\\ \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right){n^2} + n\left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2{n^2} + n} + a\sqrt {2{n^2} - n} }} = \lim \frac{{2\left( {1 - {a^2}} \right)n + \left( {1 + {a^2}} \right)}}{{\sqrt {2 + \frac{1}{n}} + a\sqrt {2 - \frac{1}{n}} }}\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Hàm giới hạn đã cho là giới hạn hữu hạn thì \(1 - {a^2} = 0 \Leftrightarrow a = 1\,\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)
Chọn D.
