Tính giới hạn của dãy số un = q + 2q^2 + ... + nq^n với | q | < 1
Câu hỏi
Nhận biếtTính giới hạn của dãy số \({u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n}\) với \(\left| q \right| < 1\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \({u_n} - q{u_n} = q + 2{q^2} + ... + n{q^n} - q.\left( {q + 2{q^2} + ... + n{q^n}} \right) = q + {q^2} + {q^3} + ... + {q^n} - n{q^{n + 1}}\)
Do \(q,\;{q^2},\;{q^3},.....,\;{q^n}\) là cấp số nhân có công bội \(q\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {u_n} - q{u_n} = \left( {1 - q} \right){u_n} = q.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} - n{q^{n + 1}}\\ \Rightarrow {u_n} = q\frac{{1 - {q^n}}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} - n{q^{n + 1}}.\end{array}\)
Do \(\left| q \right| < 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{} {q^n} = \mathop {\lim }\limits_{} {q^{n + 1}} = 0\)
Suy ra \(\lim {u_n} = \lim \left[ {\frac{{q\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}} - n{q^{n + 1}}} \right] = \frac{q}{{{{\left( {1 - q} \right)}^2}}}\).
Chọn C.
