Tính giới hạn của dãy số un = 12 căn 1 + căn 2 + 13 căn 2 + 2 căn 3 + ... + 1(n + 1) căn
Câu hỏi
Nhận biếtTính giới hạn của dãy số \({u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }}\) :
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{1}{{(k + 1)\sqrt k + k\sqrt {k + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {k\left( {k + 1} \right)} \left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)}} = \frac{1}{{\sqrt k }} - \frac{1}{{\sqrt {k + 1} }}\)
\( \Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{2\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{(n + 1)\sqrt n + n\sqrt {n + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt 1 }} - \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} - \frac{1}{{\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt n }} - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}\)
Suy ra \({u_n} = 1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} \Rightarrow \lim {u_n} = \lim \left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right) = 1\) do \(\lim \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }} = 0\)
Chọn D.
