Xác định hệ số của x^8 trong các khai triển sau:f(x) = (1 + x + 2x^2)^10
Câu hỏi
Nhận biếtXác định hệ số của \({x^8}\) trong các khai triển sau:\(f(x) = {(1 + x + 2{x^2})^{10}}\)
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}f(x) = {\left( {1 + x + 2{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{1^{10 - k}}.{{\left( {x + 2{x^2}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k.{{\left( {x + 2{x^2}} \right)}^k}} \\ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k\sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i{x^{k - i}}{{\left( {2{x^2}} \right)}^i}} } = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{i = 0}^k {C_{10}^kC_k^i{{.2}^i}.{x^{k + i}}.} } \end{array}\)
Để có hệ số \({x^8}\) thì: \(\left\{ \begin{array}{l}k + i = 8\\0 \le i \le k \le 10\\i,\;k \in Z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}i = 0\\k = 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 1\\k = 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 2\\k = 6\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 3\\k = 5\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}i = 4\\k = 4\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Như vậy ta có hệ số của \({x^8}\) trong khai triển là: \(C_{10}^8.C_8^0{.2^0} + C_{10}^7.C_7^1{.2^1} + C_{10}^6.C_6^2{.2^2} + C_{10}^5.C_5^3{.2^3} + C_{10}^4.C_4^4{.2^4} = 37845.\)
Chọn A
