Tính giá trị của biểu thức: P = C2017^0C2018^1 + C2017^1C2018^2 + ... + C2017^2016C2018^2017 + C2017
Câu hỏi
Nhận biếtTính giá trị của biểu thức: \(P = C_{2017}^0C_{2018}^1 + C_{2017}^1C_{2018}^2 + ... + C_{2017}^{2016}C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{2017}C_{2018}^{2018}\).
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}P = C_{2017}^0C_{2018}^1 + C_{2017}^1C_{2018}^2 + ... + C_{2017}^{2016}C_{2018}^{2017} + C_{2017}^{2017}C_{2018}^{2018}\\\;\;\; = C_{2017}^0C_{2018}^{2017} + C_{2017}^1C_{2018}^{2016} + ... + C_{2017}^{2016}C_{2018}^1 + C_{2017}^{2017}C_{2018}^0.\end{array}\)
Xét khai triển:
\({\left( {1 + x} \right)^{2017}}{\left( {1 + x} \right)^{2018}} = \left( {C_{2017}^0 + xC_{2017}^1 + ... + {x^{2016}}C_{2017}^{2016} + {x^{2017}}C_{2017}^{2017}} \right)\left( {C_{2018}^0 + xC_{2018}^1 + ... + {x^{2017}}C_{2018}^{2017} + {x^{2018}}C_{2018}^{2018}} \right)\)
Hệ số của \({x^{2017}}\) trong khai triển trên chính là: \(P = C_{2017}^0C_{2018}^{2017} + C_{2017}^1C_{2018}^{2016} + ... + C_{2017}^{2016}C_{2018}^1 + C_{2017}^{2017}C_{2018}^0\).
Mặt khác, ta cũng có: \({\left( {1 + x} \right)^{2017}}{\left( {1 + x} \right)^{2018}} = {\left( {1 + x} \right)^{4035}} = C_{4035}^0 + xC_{4035}^1 + ... + {x^{4034}}C_{4035}^{4034} + {x^{4035}}C_{4035}^{4035}\) và trong khai triển này thì hệ số của \({x^{2017}}\) là \(C_{4035}^{2017}\).
Do vậy ta có: \(P = C_{4035}^{2017}.\)
Chọn B
