Gọi S là tập hợp tất cả các số thực m để phương trình 4cos ^3x + 2cos 2x + 2 = ( m + 3 )cos x có đún

Lời giải của Tự Học 365

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,4{\cos ^3}x + 2\cos 2x + 2 = \left( {m + 3} \right)\cos x\,\,\,\,(*)\,\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x + 4{\cos ^2}x - \left( {m + 3} \right)\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x + 2\cos x - \left( {m + 3} \right)} \right).\cos x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4{\cos ^2}x + 4\cos x - \left( {m + 3} \right) = 0\,\,(1)\\\cos x = 0\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình \((2) \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\). Mà \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right] \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.\)

Thay \(\cos x = 0\) vào (1):  \({4.0^2} + 4.0 - \left( {m + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\)

+) Với \(m =  - 3\):

Phương trình \((1) \Leftrightarrow 4{\cos ^2}x + 4\cos x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 0\\\cos x =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi  + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,,k \in \mathbb{Z}\)

Mà \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2};\pi } \right\}\)

Phương trình \((*)\)có đúng 3 nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right]\) là \(\left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2};\pi } \right\} \Rightarrow m =  - 3\) không thỏa mãn

+) Với \(m \ne  - 3\): Phương trình \((1)\) không có nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2},\,\,x = \dfrac{{3\pi }}{2}\). Khi đó, để (*) có đúng 5 nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right]\) thì phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right]\)

Đặt \(\cos x = t\), (1) trở thành: \(4{t^2} + 4t - \left( {m + 3} \right) = 0\) (3)

Phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};2\pi } \right]\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình (3) có 2 nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\,\,\left( {{t_1} \le {t_2}} \right)\) thỏa mãn:

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} =  - 1\\{t_2} \in \left( { - 1;0} \right] \cup \left\{ 1 \right\}\end{array} \right.\), hoặc \({t_1} = {t_2} \in \left( {0;1} \right)\), hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} \in \left( {0;1} \right)\\{t_2} > 1\end{array} \right.\), hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} <  - 1\\{t_2} \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right.\)

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} =  - 1\\{t_2} \in \left( { - 1;0} \right] \cup \left\{ 1 \right\}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow 4.{\left( { - 1} \right)^2} + 4.\left( { - 1} \right) - \left( {m + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m =  - 3\) (loại)

TH2: \({t_1} = {t_2} \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 4 + 4\left( {m + 3} \right) \Leftrightarrow 4m + 16 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4\)

Khi đó, \(\left( 3 \right)\) có 2 nghiệm \({t_1} = {t_2} =  - \dfrac{1}{2} \notin \left( {0;1} \right)\,\, \Rightarrow \)\(m =  - 4\): không thỏa mãn

TH3: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} \in \left( {0;1} \right)\\{t_2} > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < {t_1} < 1 < {t_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1}{t_2} > 0\\{t_1} + {t_2} > 0\\{t_1}{t_2} - \left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 16 > 0\\ - \dfrac{{m + 3}}{4} > 0\\ - \dfrac{4}{4} > 0\\1 - \left( { - \dfrac{4}{4}} \right) - \dfrac{{m + 3}}{4} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \)

TH4: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} <  - 1\\{t_2} \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_1} <  - 1 < 0 < {t_2} < 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1}{t_2} < 0\\\left( {{t_1} + 1} \right)\left( {{t_2} + 1} \right) < 0\\\left( {{t_1} - 1} \right) + \left( {{t_2} - 1} \right) < 0\\\left( {{t_1} - 1} \right)\left( {{t_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 16 > 0\\ - \dfrac{{m + 3}}{4} < 0\\ - \dfrac{{m + 3}}{4} + \left( { - \dfrac{4}{4}} \right) + 1 < 0\\ - \dfrac{4}{4} - 2 < 0\\ - \dfrac{{m + 3}}{4} - \left( { - \dfrac{4}{4}} \right) + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - 4\\m >  - 3\\m < 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - 3;5} \right)\)

Vậy, tập các giá trị thực của m thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(S = \left( { - 3;5} \right)\)

Chọn: D