Cho phương trình: 3cosx + cos2x - cos3x + 1 = 2sin x.sin 2x. Gọi alpha là nghiệm lớn nhất thuộc
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình: \({\rm{3cos}}x + {\rm{cos}}2x - {\rm{cos3}}x + 1 = 2\sin x.\sin 2x\). Gọi \(\alpha \) là nghiệm lớn nhất thuộc khoảng \(\left( {0;\,2\pi } \right)\) của phương trình. Tính \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\rm{Pt}} \Leftrightarrow {\rm{3cos}}x + {\rm{cos}}2x - {\rm{cos3}}x + 1 = {\rm{cos}}x - {\rm{cos3}}x\\ \Leftrightarrow 2{\rm{cos}}x + {\rm{cos2}}x + 1 = 0 \Leftrightarrow 2\cos x + 2{\cos ^2}x - 1 + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x + {\rm{cos}}x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\rm{cos}}x = 0\\{\rm{cos}}x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pi + m2\pi \end{array} \right.\left( {k,\;m \in Z} \right)\end{array}\)
Vì \(x \in \left( {0;\,2\pi } \right)\) nên ta tìm được \(x \in \left\{ {\frac{\pi }{2};\,\pi ,\,\frac{{3\pi }}{2}} \right\}\). Nghiệm lớn nhất của phương trình là \(\alpha = \frac{{3\pi }}{2}\).
Vậy \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \frac{\pi }{4}} \right)\)\( = \sin \frac{{5\pi }}{4}\)\( = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn A
