Gọi x1x2 là hai nghiệm của phương trình : x^2 - 6x + 1 = 0. Đặt an = x1^n + x2^n. Chọn mệnh đề đúng:
Câu hỏi
Nhận biếtGọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình : \({x^2} - 6x + 1 = 0\). Đặt \({a_n} = x_1^n + x_2^n\). Chọn mệnh đề đúng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \({a_n} = ({x_1} + {x_2})(x_1^{n - 1} + x_2^{n - 1}) - {x_1}{x_2}(x_1^{n - 2} + x_1^{n - 2})\)
Theo định lí Viét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 6\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\) nên ta có:
\({a_n} = 6(x_1^{n - 1} + x_2^{n - 1}) - (x_1^{n - 2} + x_1^{n - 2}) = 6{a_{n - 1}} - {a_{n - 2}}\).
Với \(n = 1 \Rightarrow {a_1} = {x_1} + {x_2} = 6\)
\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({a_n}\) không chia hết cho 5
* Với \(n = 1 \Rightarrow {a_1} = {x_1} + {x_2} = 6\)
\( \Rightarrow {a_1}\) không chia hết cho 5
* Giả sử \({a_k}\) không chia hết cho 5 với mọi \(k \ge 1\).
Ta chứng minh \({a_{k + 1}}\) không chia hết cho 5.
Do \({a_{k + 1}} = 6{a_k} - {a_{k - 1}}\)
Mặt khác: \({a_{k + 1}} = 5{a_k} + ({a_k} - {a_{k - 1}}) = 5{a_k} + 5{a_{k - 1}} - {a_{k - 2}}\)
Vì \({a_{k - 2}}\) không chia hết cho 5 và \(\left\{ \begin{array}{l}5{a_k} \vdots 5\\5{a_{k - 1}} \vdots 5\end{array} \right.\) nên suy ra \({a_{k + 1}}\) không chia hết cho 5.
Chọn C
