Phương trình căn 1 + sin x + căn 1 + cos x = m có nghiệm khi và chỉ khi
Câu hỏi
Nhận biếtPhương trình \(\sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} = m\) có nghiệm khi và chỉ khi
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
TXĐ: \(D = R\).
Đặt \(P = \sqrt {1 + \sin x} + \sqrt {1 + \cos x} \Rightarrow {P^2} = 2 + \sin x + \cos x + 2\sqrt {1 + \sin x + \cos x + \sin x\cos x} \).
Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \frac{{{t^2} - 1}}{2} \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 \,;\,\sqrt 2 } \right]\).
Khi đó \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x\).
Vậy \({P^2} = 2 + t + 2\sqrt {1 + t + \frac{{{t^2} - 1}}{2}} \)\( = 2 + t + \sqrt 2 \left| {t + 1} \right|\).
TH1: \( - \sqrt 2 \le t \le - 1\) thì \({P^2} = \left( {1 - \sqrt 2 } \right)t + 2 - \sqrt 2 \). Khi đó \(1 \le {P^2} \le 4 - 2\sqrt 2 \).
TH2: \( - 1 \le t \le \sqrt 2 \) thì \({P^2} = \left( {1 + \sqrt 2 } \right)t + 2 + \sqrt 2 \). Khi đó \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \).
Vậy \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \) mà \(P \ge 0\) nên \(1 \le {P^2} \le 4 + 2\sqrt 2 \Rightarrow 1 \le P \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).
Phương trình có nghiệm khi \(1 \le m \le \sqrt {4 + 2\sqrt 2 } \).
Chọn B
