Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos ^32x - cos ^22x = msin ^2x có n
Câu hỏi
Nhận biếtCó tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({\cos ^3}2x - {\cos ^2}2x = m{\sin ^2}x\) có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right)\)?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\cos ^3}2x - {\cos ^2}2x = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x\left( {\cos 2x - 1} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}2x.\left( { - 2{{\sin }^2}x} \right) = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x\left( {2{{\cos }^2}2x + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\sin ^2}x = 0\\2{\cos ^2}2x + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos 4x + 1 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\\cos 4x = - m - 1\;\;\;\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Ta có \(x = k\pi \) không có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow \) phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm \(x \in \left( {0;\;\frac{\pi }{6}} \right).\)
Có \(x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow 4x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{{2\pi }}{3}} \right) \Rightarrow - \frac{1}{2} < \cos 4x < 1\)
Để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {0;{\mkern 1mu} \frac{\pi }{6}} \right)\) thì \( - \frac{1}{2} < - m - 1 < 1 \Leftrightarrow - 2 < m < - \frac{1}{2}.\)
Do \(m \in Z\) nên \(m = - 1\).
Chọn D
