Phương trình sin 3x = - sin ^3x + 3cos ^3x có bao nhiêu nghiệm thuộc [ 0;9pi ]?
![Phương trình sin 3x = - sin ^3x + 3cos ^3x có bao nhiêu nghiệm thuộc [ 0;9pi ]?](https://tuhoc365.vn/wp-content/uploads/2020/03/qa-238x145.png "Phương trình sin 3x = - sin ^3x + 3cos ^3x có bao nhiêu nghiệm thuộc [ 0;9pi ]?")
Câu hỏi
Nhận biếtPhương trình \(\sin 3x = - {\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x\) có bao nhiêu nghiệm thuộc \(\left[ {0;9\pi } \right]\)?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin 3x = - {\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x\\ \Leftrightarrow 3\sin x - 4{\sin ^3}x = -{\sin ^3}x + 3{\cos ^3}x\\ \Leftrightarrow 3{\sin ^3}x - 3\sin x + 3{\cos ^3}x = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^3}x - \sin x + {\cos ^3}x = 0.\end{array}\)
+) Với \(\cos x = 0 \Rightarrow PT \Leftrightarrow {\sin ^3}x = 0 \Leftrightarrow \sin x = 0\) (vô lý)
\( \Rightarrow \cos x = 0\) không là nghiệm của phương trình.
+) Với \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\left( {k \in Z} \right),\) chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^3}x\) ta được:
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\tan ^3}x - \tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x - \tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\tan ^3}x - {\tan ^3}x - \tan x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)
Xét: \(0 \le \frac{\pi }{4} + k\pi \le 9\pi \Leftrightarrow - 0,25 \le k \le 8,75 \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;\;1;\;2;...;8} \right\}.\) Có 9 nghiệm thõa mãn
Chọn B.
