Cho ∆ ABC có C = 90^0, AC < BC , kẻ CH vuông góc AB. Trên các cạnh AB
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) có \(\widehat C = {90^0}\), \(AC < BC\) , kẻ \(CH \bot AB\). Trên các cạnh AB và AC lấy tương ứng hai điểm M và N sao cho \(BM = BC,CN = CH\). Chứng minh:
1. \(MN \bot AC\)
2. \(AC + BC < AB + CH.\)
3. \(NC + MH < BC + HB.\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có: \(BM = BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta BMC\) tại B (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
\( \Rightarrow \widehat {MCB} = \widehat {CMB}\left( 1 \right)\) (tính chất tam giác cân)
Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCM} + \widehat {MCA} = \widehat {ACB} = {90^0}\left( {gt} \right)\\\widehat {CMH} + \widehat {MCH} = {90^0}\left( {gt} \right)\end{array} \right.\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right) \Rightarrow \widehat {MCH} = \widehat {MCN}\)
Xét \(\Delta MHC\) và \(\Delta MNC\) có:
MC chung
\(\widehat {MCH} = \widehat {MCN}\left( {cmt} \right)\)
\(NC = HC\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta MHC = \Delta MNC\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat {MNC} = \widehat {MHC} = {90^0}\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow MN \bot AC\)
b) Xét \(\Delta AMN\) có AN là đường vuông góc hạ từ A xuống MN và AM là đường xiên nên suy ra \(AM > AN\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM = BC\left( {gt} \right)\\HC = CN\left( {gt} \right)\\AM > AN\left( {cmt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BM + MA + HC > BC + CN + NA \Leftrightarrow AB + HC > BC + AC\) .
c) Xét \(\Delta BHC\) có CH là đường vuông góc kẻ từ C xuống BH và BC là hình chiếu nên suy ra \(HC < BC\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
Mà \(NC = HC\left( {gt} \right) \Rightarrow CN < BC\left( 3 \right)\) .
Vì \(AC < BC\left( {gt} \right)\) mà HA và HB lần lượt là hình chiếu của AC và BC trên AB
\( \Rightarrow HA < HB\)(quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
Mà \(HM < HA \Rightarrow HM < HB\left( 4 \right)\)
Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right) \Rightarrow CN + HM < BC + HB.\)
