Giải bài toán sau bằng phương pháp chứng minh phản chứng: “Chứng minh rằng với mọi $x,y,z$ bất kỳ thì các bất đẳng thức sau không đồng thời xảy ra \(\left| x \right| < \left| {y - z} \right|\); \(\left| y \right| < \left| {z - x} \right|\); \(\left| z \right| < \left| {x - y} \right|\).”
Một học sinh đã lập luận tuần tự như sau:
(I) Giả định các đẳng thức xảy ra đồng thời.
(II) Thế thì nâng lên bình phương hai vế các bất đẳng thức, chuyển vế phải sang vế trái, rồi phân tích, ta được:
$\left( {x-y + z} \right)\left( {x + y-z} \right) < 0$
$\left( {y-z + x} \right)\left( {y + z-x} \right) < 0$
$\left( {z-x + y} \right)\left( {z + x-y} \right) < 0$
(III) Sau đó, nhân vế theo vế thì ta thu được: ${\left( {x-y + z} \right)^2}{\left( {x + y-z} \right)^2}{\left( {-x + y + z} \right)^2} < 0$ (vô lí)
Lý luận trên, nếu sai thì sai từ giai đoạn nào?
Phương pháp giải
Sử dụng phương pháp phản chứng để chứng minh lại bài toán, đối chiếu với các bước lập luận và kết luận.
Lời giải của Tự Học 365
Giả sử các bất đẳng thức \(\left| x \right| < \left| {y - z} \right|,\left| y \right| < \left| {z - x} \right|,\left| z \right| < \left| {x - y} \right|\) đồng thời xảy ra.
Khi đó:
\(\begin{array}{l}\left| x \right| < \left| {y - z} \right| \Rightarrow {x^2} - {\left( {y - z} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left( {x - y + z} \right)\left( {x + y - z} \right) < 0\\\left| y \right| < \left| {z - x} \right| \Rightarrow {y^2} - {\left( {z - x} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left( {y - z + x} \right)\left( {y + z - x} \right) < 0\\\left| z \right| < \left| {x - y} \right| \Rightarrow {z^2} - {\left( {x - y} \right)^2} < 0 \Leftrightarrow \left( {z - x + y} \right)\left( {z + x - y} \right) < 0\end{array}\)
Nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên ta được: ${\left( {x-y + z} \right)^2}{\left( {x + y-z} \right)^2}{\left( {-x + y + z} \right)^2} < 0$ (vô lý).
Vậy lập luận đó đúng.
Đáp án cần chọn là: d
Toán Lớp 12
