Tứ giác BMNC và tứ giác BMNH là hình gì? Vì sao? b) Gọi D là điểm đố
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Gọi \(M,N,H\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,AC\) và \(BC.\)
a) Tứ giác \(BMNC\) và tứ giác \(BMNH\) là hình gì? Vì sao?
b) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(N.\) Chứng minh: \(ADCH\) là hình chữ nhật
c) Kẻ \(DE \bot AC,\) gọi \(K\) là trung điểm của \(EC.\) Qua \(K\) vẽ đường thẳng \(d \bot DK.\) Chứng minh: Ba đường thẳng \(AH,MN\) và \(d\) đồng qui (cùng gặp nhau tại 1 điểm)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Tứ giác \(BMNC\) và tứ giác \(BMNH\) là hình gì? Vì sao?
Xét tam giác \(ABC\) có \(MN\) là đường trung bình của tam giác nên \(MN//BC,\,MN = \frac{{BC}}{2} = BH\)
Suy ra \(MNCB\) là hình thang. Lại có \(\widehat B = \widehat C\) nên \(MNCB\) là hình thang cân (dhnb)
Xét tứ giác \(MNHB\) có \(MN//HB;MN = HB\) nên \(MNHB\) là hình bình hành (dhnb)
b) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(N.\) Chứng minh: \(ADCH\) là hình chữ nhật
Xét tứ giác \(AHCD\) có \(N\) là trung điểm \(AC\left( {gt} \right)\) và \(N\) là trung điểm \(HD\) (do \(D\) đối xứng với \(H\) qua \(N\))
Nên hai đường chéo \(AC,HD\) giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra \(AHCD\) là hình bình hành
Lại có \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến nên \(AH\) cũng là đường cao.
Suy ra \(AH \bot HC \Rightarrow \widehat {AHC} = {90^0}\)
Từ đó \(AHCD\) là hình chữ nhật (dhnb)
c) Kẻ \(DE \bot AC,\) gọi \(K\) là trung điểm của \(EC.\) Qua \(K\) vẽ đường thẳng \(d \bot DK.\) Chứng minh: Ba đường thẳng \(AH,MN\) và \(d\) đồng qui (cùng gặp nhau tại 1 điểm)
(fb: Thầy Lê Minh Đức)
Lấy \(P\) là trung điểm cạnh \(EP.\) Gọi \(I\) là giao điểm của \(MN\) và \(AH.\) Ta sẽ chứng minh \(IK \bot DK\)
Xét tam giác \(AHC\) có \(IN//HC\) và \(N\) là trung điểm \(AC\) nên \(I\) là trung điểm của \(AH\)
Suy ra \(AI = \frac{{AH}}{2}\) và \(AI//DC;AH = DC\) (do \(ADCH\) là hình chữ nhật) nên \(AI = \frac{{DC}}{2}\)
Xét tam giác \(EPC\) có \(PK\) là đường trung bình của tam giác \( \Rightarrow PK//DC,PK = \frac{1}{2}DC\)
Xét tứ giác \(AIPK\) có \(AI = PK\left( { = \frac{{DC}}{2}} \right);AI//PK//DC\) nên \(AIPK\) là hình bình hành.
Do đó: \(IK//AP\)
Lại có \(PK//DC\) mà \(DC \bot AD \Rightarrow PK \bot AD\)
Từ đó suy ra \(P\) là trực tâm tam giác \(ADK.\)
Suy ra \(AP \bot DK\) mà \(IK//AP\) nên \(IK \bot DK\)
Do đó \(IK \equiv d\) nên ba đường thẳng \(AH,MN,d\) đồng qui tại điểm \(I\) (đpcm)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?