Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số dương và a + b + c = 1 thì:
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh rằng nếu \(a,b,c\) là các số dương và \(a + b + c = 1\) thì:
\({\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{1}{c}} \right)^2} > 33\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với 3 số \(A,B,C > 0\), áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} + {B^2} \ge 2AB\,\,\\{B^2} + {C^2} \ge 2BC\,\,\\{C^2} + {A^2} \ge 2AC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow 2\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) \ge 2\left( {AB + BC + CA} \right).\)
Cộng từng vế của BĐT trên với \({A^2} + {B^2} + {C^2}\)
\( \Rightarrow 3\left( {{A^2} + {B^2} + {C^2}} \right) \ge {\left( {A + B + C} \right)^2} \Leftrightarrow {A^2} + {B^2} + {C^2} \ge \frac{{{{\left( {A + B + C} \right)}^2}}}{3}\)
Đặt \(A = a + \frac{1}{a}\,\,;\,\,B = b + \frac{1}{b}\,\,;\,\,C = c + \frac{1}{c}\) ta có:
\(\begin{array}{l}P = {\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} + {\left( {b + \frac{1}{b}} \right)^2} + {\left( {c + \frac{1}{c}} \right)^2} \ge \frac{1}{3}{\left( {a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {a + b + c + \frac{{a + b + c}}{a} + \frac{{a + b + c}}{b} + \frac{{a + b + c}}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {1 + 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} + 1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + 1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {4 + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b}} \right)^2}\end{array}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\sqrt {\frac{a}{b}.\frac{b}{a}} \\\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\sqrt {\frac{b}{c}.\frac{c}{b}} \\\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2\sqrt {\frac{c}{a}.\frac{a}{c}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \ge 2\\\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \ge 2\\\frac{c}{a} + \frac{a}{c} \ge 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow P \ge \frac{1}{3}{\left( {4 + 2 + 2 + 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow P \ge \frac{1}{3}{.10^2} = \frac{{100}}{3} > 33\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là: