Cho ∆ ABC vuông tại B , đường cao BK( K thuộc AC ). Vẽ BH là tia phân
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) , đường cao \(BK\left( {K \in AC} \right).\) Vẽ \(BH\) là tia phân giác của \(\angle ABK\left( {H \in AC} \right).\) Kẻ \(HD\) vuông góc với \(AB.\)
a) Chứng minh \(\Delta BHK = \Delta BHD\)
b) Gọi giao điểm của \(DH\) và \(BK\) là \(I\) . Chứng minh : \(IK = AD.\)
c) Chứng minh \(DK//AI\)
d) Các đường phân giác của \(\Delta BKC\) cắt nhau tại \(M\) . Gọi \({\rm N}\) là giao điểm của \(CM\,\)và \(BK\). Chứng minh \({\rm N}\) là trực tâm của \(\Delta BHC.\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) \(\Delta BHK = \Delta BHD\)
Vì BK là đường cao của tam giác \(\Delta ABC\) nên \(BK \bot AC\)
Xét hai tam giác vuông \(BHK\) và \(\Delta BHD\) ta có :
\(\angle {B_1} = \angle {B_2}\) (do BH là đường phân giác của góc \(\angle ABK\left( {H \in AC} \right).\))
Cạnh BH chung
\( \Rightarrow \Delta BHK = \Delta BHD\) (cạnh huyền-góc nhọn)
b) Gọi giao điểm của \(DH\) và \(BK\) là \(I\) . Chứng minh : \(IK = AD.\)
Vì \(\Delta BHK = \Delta BHD\)nên \(HK = HD\) (cạnh tương ứng)
Xét \({\Delta _v}ADH;\,\,\,\,\,{\Delta _v}IKH\)
Có: \(\angle DHA = \angle KHI\) (đối đỉnh)
\(HK = HD\)(cmt)
\(\angle ADH = \angle IKH = {90^0}\)
\( \Rightarrow {\Delta _v}ADH = \,\,{\Delta _v}IKH\) (g.c.g)
\(IK = AD\) (cạnh tương ứng)
c) Chứng minh \(DK//AI\)
Trong tam giác \(ABC\) có:
\(\begin{array}{l}AB = AD + DB\\BI = BK + KI\end{array}\)
Mà \(AD = IK\,\) (do \(\Delta ADH = \Delta IKH\left( {cmt} \right)\) )
\(DB = BK\)(do \(\Delta BHK = \Delta BHD\))
\( \Rightarrow AB = BI\)
\( \Rightarrow \Delta ABI\) là tam giác cân tại B. \( \Rightarrow \angle BAI = \angle BIA\)
Trong một tam giác cân, tia phân giác ứng với cạnh đáy chính là đường cao
\( \Rightarrow BH \bot AI\,\,\,\left( 1 \right)\)
Mà \(\Delta BDK\) cũng cân tại B (do \(BD = BK\left( {do\,\Delta BDH = \Delta BKH} \right)\)
\( \Rightarrow BH \bot DK\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) (do BH là đường phân giác góc B)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow DK//AI\) (do cùng vuông góc với \(BH\) )
Vậy \(DK//AI\) (đpcm).
d) Xét tam giác \(HBC\) ta có:
\(BK \bot HC\left( {Gt} \right) \Rightarrow BK\) là đường cao xuất phát từ đỉnh \(B\) của tam giác \(HBC\).
Ta có :
\(\begin{array}{l}DI \bot AB\left( {GT} \right)\\BC \bot AB\left( {gt} \right)\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \angle DIB = \angle KBC\,\left( {so\,le\,trong} \right)\\ \Rightarrow DI//BC\end{array}\)
Mà :
\(\begin{array}{l}\angle C + \angle KBC = {90^0}\\\angle DBI + \angle DIB = {90^0}\\ \Rightarrow \angle C = \angle DBI\\ \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {B_2} = \angle {C_1} = \angle {C_2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Kéo dài CN cắt BH tại P, ta chứng minh CP là đường cao kẻ từ đỉnh C của tam giác \(HBC\)
Ta có : \(\begin{array}{l}\angle C + \angle KBC = {90^0}\\\angle {C_1} + \angle {C_2} + \angle KBC = {90^0}\end{array}\)
Mà \(\angle {C_2} = \angle {B_2}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle {C_1} + \angle KBC + \angle {B_2} = \angle BPC = {90^0}\) Hay \(CP \bot CH\)
Trong tam giác \(HBC\) có : CN là đường cao, BN là đường cao.
\( \Rightarrow \) N là trực tâm của \(\Delta HBC\) (đpcm).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là:
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)