Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC ). Gọi D trung điểm của cạnh AC. Trên
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(D\) trung điểm của cạnh \(AC.\) Trên tia đối của tia \(DB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = DB.\)
a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta CED.\) Suy ra \(AB\) song song với \(CE.\)
b) Kẻ \(AF\) vuông góc với \(BD\) tại \(F\) và \(CG\) vuông góc với \(DE\) tại \(G.\) Chứng minh \(AF\) song song với \(CG\) và \(DF = DG.\)
c) Kẻ \(BH\) vuông góc với \(AD\) tại \(H\) và \(EI\) vuông góc với \(DC\) tại \(I.\) Đoạn \(BH\) cắt \(AF\) tại \(K.\) Đoạn \(CG\) cắt \(EI\) tại \(M.\) Chứng minh ba điểm \(K,D,M\) thẳng hàng.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right).\) Gọi \(D\) trung điểm của cạnh \(AC.\) Trên tia đối của tia \(DB\) lấy điểm \(E\) sao cho \(DE = DB.\)
a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta CED.\) Suy ra \(AB\) song song với \(CE.\)
Xét tam giác \(ABD\) và tam giác \(CDE\) có:
+) \(AD = DC\) (vì \(D\) là trung điểm cạnh \(AC\))
+) \(\widehat {ADB} = \widehat {EDC}\) (hai góc đối đỉnh)
+) \(BD = DE\,\,\left( {gt} \right)\)
Nên \(\Delta ADB = \Delta CDE\left( {c - g - c} \right).\)
Suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {ECD}.\)
Mà \(\widehat {BAD}\) và \(\widehat {ECD}\) ở vị trí so le trong
Nên \(AB\) song song với \(CE.\)
b) Kẻ \(AF\) vuông góc với \(BD\) tại \(F\) và \(CG\) vuông góc với \(DE\) tại \(G.\) Chứng minh \(AF\) song song với \(CG\) và \(DF = DG.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AF \bot BE\,\left( {gt} \right)\\CG \bot BE\left( {gt} \right)\end{array} \right.\) nên \(AF\) song song với \(CG\) (cùng vuông góc với \(BE\))
Suy ra \(\widehat {FAD} = \widehat {GCD}\) (hai góc ở vị trí so le trong)
Xét tam giác \(AFD\) và tam giác \(CGD\) có:
+) \(\widehat {AFD} = \widehat {CGD} = {90^0}\)
+) \(AD = DC\,\left( {cmt} \right)\)
+) \(\widehat {FAD} = \widehat {GCD}\,\left( {cmt} \right)\)
Nên \(\Delta FAD = \Delta GCD\left( {ch - gn} \right).\) Suy ra \(DF = DG\) (hai cạnh tương ứng)
c) Kẻ \(BH\) vuông góc với \(AD\) tại \(H\) và \(EI\) vuông góc với \(DC\) tại \(I.\) Đoạn \(BH\) cắt \(AF\) tại \(K.\) Đoạn \(CG\) cắt \(EI\) tại \(M.\) Chứng minh ba điểm \(K,D,M\) thẳng hàng.
Xét tam giác \(ABD\) có hai đường cao \(AF\) và \(BH\) giao nhau tại \(K\) nên \(K\) là trực tâm tam giác \(ABD.\)
Suy ra \(DK \bot AB\) mà \(AB//CE\) (theo câu a) nên \(DK \bot EC\) (1)
Xét tam giác \(EDC\) có hai đường cao \(EI\) và \(CG\) giao nhau tại \(M\) nên \(M\) là trực tâm tam giác \(EDC.\)
Suy ra \(DM \bot EC\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(K,D,M\) thẳng hàng.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là:
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :