Cho tam giác ABC với AC>AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của BC và A
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\) với \(AC>AB\). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AB\). Từ \(M\) và \(C\) kẻ đường vuông góc với phân giác trong của góc \(A\), các đường này lần lượt cắt tia \(AB\) tại \(P\) và \(E\).
a) Chứng minh rằng \(AP=\frac{AB+AC}{2}\)
b) Chứng minh \(\Delta PNM\) là tam giác cân.
c) So sánh \(PN\) và \(AC\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có \(AP=AB+BP\)
\(AP=AEPE\)
Do đó \(2AP=AB+AE+BPPE\text{ }\left( 1 \right)\)
Trong tam giác \(BCE\) ta có :\(BM=MC\) và \(MP//CE\) (cùng vuông góc với tia phân giác \(Ax\)) nên suy ra \(P\) là trung điểm của \(BE\) và ta có \(BP=PE\) .
Mặt khác tam giác \(ACE\) cân tại \(A\) vì có phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao. Do đó \(AE=AC\) .
Vậy (1) cho ta \(2AP=AB+AC\) hay \(\text{AP =}\frac{AB+AC}{2}\) (đpcm)
b) Đường thẳng \(MP\) cắt \(AC\) tại \(Q\) . Ta có tam giác \(APQ\) cân tại \(A\) vì phân giác trong của góc \(A\) cũng là đường cao, nên ta có \(\widehat{APM}=\widehat{AQP}\) .
Mà \(\widehat{NMP}=\widehat{AQP}\) (hai góc đồng vị)
Do đó \(\widehat{APM}=\widehat{NMP}\)
Suy ra tam giác \(MNP\) cân tại \(N\).
Suy ra \(PN=MN\)
c) Ta có \(MN=\frac{1}{2}AC\) ( đường trung bình của tam giác \(ABC\))
Vậy \(PN=\frac{1}{2}AC\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?