Cho tam giác ABC có AB = AC và AB > BC. Gọi M là trung điểm của cạnh B
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\) có \(AB = AC\) và \(AB > BC.\) Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(BC.\)
a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) và \(AM \bot BC.\)
b) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D,\) trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE.\) Chứng minh \(MD = ME.\)
c) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD.\) Trên tia đối của tia \(NM\) lấy điểm \(K\) sao cho \(NK = NM.\) Chứng minh các điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh \(\Delta ABM = \Delta ACM\) và \(AM \bot BC.\)
Xét \(\Delta ABM\)và \(\Delta ACM\) có :
\(AB = AC\left( {gt} \right)\)
\(AM\) là cạnh chung
\(BM = MC\) (do \(M\) là trung điểm của \(BC\))
Vậy \(\Delta ABM = \Delta ACM\left( {c - c - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (cặp góc tương ứng) (1)
Mà \(M \in BC\)nên \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) (2)
Từ (1), (2) ta có : \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 2\widehat {AMB} = 180^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {AMB} = \frac{{180^\circ }}{2}\)
Hay \(AM \bot BC\)
b) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(D,\) trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(E\) sao cho \(AD = AE.\) Chứng minh \(MD = ME.\)
Xét \(\Delta ADM\) và \(AEM\) có :
\(AD = AE\left( {gt} \right)\)
\(\widehat {DAM} = \widehat {EAM}\) (cặp góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau – câu a)
\(AM\) là cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta DAM = \Delta EAM\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow MED = ME\) (cặp cạnh tương ứng)
c) Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(BD.\) Trên tia đối của tia \(NM\) lấy điểm \(K\) sao cho \(NK = NM.\) Chứng minh các điểm \(K,D,E\) thẳng hàng.
Gọi \(DE \cap AM = \left\{ I \right\}\)
\(\Delta ADI\) và \(\Delta AEI\) có :
+ Cạnh chung\(AI\)
+ \(AD = AE\left( {gt} \right)\)
+ \(\widehat {DAI} = \widehat {EAI}\) (chứng minh ở câu a)
\( \Rightarrow \Delta ADI = \Delta AEI\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {DIA} = \widehat {EIA}\) (cặp góc tương ứng)
Mà \(\widehat {DIA} + \widehat {EIA} = 180^\circ \) nên \(\widehat {DIA} = \widehat {EIA} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) hay \(DE \bot AM\)
Mặt khác \(BC \bot AM\)
Suy ra : \(DE//BC\) (3)
Nối \(KD\)
Xét \(\Delta KDN\) và \(\Delta MBN\) có :
+ \(ND = NB\) (\(N\) là trung điểm của \(BD\))
+ \(\widehat {KND} = \widehat {MNB}\) (đối đỉnh)
+ \(NK = NM\) (cách vẽ)
\( \Rightarrow \Delta KDN = \Delta MBN\left( {c - g - c} \right)\)
\( \Rightarrow \widehat {DKN} = \widehat {BMN}\) (cặp góc tương ứng)
Hay \(KD//BM\) (có cặp góc so le trong bằng nhau)
Mà \(M \in BC\) nên \(KD//BC.\) (4)
Từ (3), (4) suy ra \(K,D,E\) cùng nằm trên một đường thẳng song song với \(BC\) hay \(K,D,E\) thẳng hàng (tiên đề Ơ-clit).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là:
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)