Cho tam giác ABC có AB < AC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC có AB < AC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại I. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = AB.
a) Chứng minh rằng BI = ID.
b) Tia DI cắt tia AB tại E. Chứng minh rằng \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\)
c) Chứng minh BD \(\parallel \) EC.
d) Cho \(\angle ABC=2\angle ACB.\) Chứng minh rằng AB + BI = AC.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Xét tam giác ABI và tam giác ADI ta có:
\(\angle BAI=\angle DAI\) (theo giả thiết)
\(AB=A\text{D}\) (theo giả thiết)
AI: chung
\(\Rightarrow \Delta ABI=\Delta A\text{D}I\ \ (c-g-c)\)
\(\Rightarrow BI=ID\) (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b) Vì \(\Delta ABI=\Delta A\text{D}I\ (c-g-c)\) nên:
\(\angle ABI=\angle A\text{D}I\) (2 góc tương ứng) (1)
Mà: \(\angle ABE=\angle A\text{D}C={{180}^{0}}\) (2 góc bẹt) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\angle ABE-\angle ABI=\angle A\text{D}C-\angle ADI\Leftrightarrow \angle IBE=\angle IDC\)
Xét \(\Delta IBE\) và \(\Delta IDC\) ta có:
\(\angle IBE=\angle I\text{D}C\) (chứng minh trên)
\(\angle BIE=\angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)
\(BI=I\text{D}\) (chứng minh trên)
\(\Rightarrow \Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\) (đpcm)
c) Ta có: BI = ID (chứng minh trên) \(\Rightarrow \Delta BI\text{D}\) cân tại \(I\Rightarrow \angle IBD=\angle IDB\) (tính chất của tam giác cân) (1)
Ta lại có: \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\) (chứng minh trên) \(\Rightarrow IE=IC\) (2 cạnh tương ứng) \(\Rightarrow \Delta IEC\) cân tại I
\(\Rightarrow \angle IEC=\angle ICE\) (tính chất của tam giác cân) (2)
Xét 2 tam giác \(\Delta IEC\) và \(\Delta IBD\) ta có:
\(\angle BID=\angle EIC\) (2 góc đối đỉnh)
\(\angle IBD+\angle IDB+\angle BID=\angle IEC+\angle IC\text{E}+\angle EIC={{180}^{0}}\) (Tổng 3 góc của một tam giác bằng 1800) (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: \(2\angle I\text{D}B+\angle BI\text{D}=2\angle IEC+\angle EIC\)
\(\Rightarrow \angle I\text{D}B=\angle IEC\ \ hay\ \ \angle E\text{D}B=\angle DEC\) (cặp góc so le trong bằng nhau)
\(\Rightarrow B\text{D}\parallel EC\) (đpcm)
d) Ta có \(\Delta IBE=\Delta I\text{D}C\ (g-c-g)\)(chứng minh trên)
\(\Rightarrow \angle BEI=\angle DCI\) (2 góc tương ứng)
Lại có: \(\angle BIE=\angle DIC\) (2 góc đối đỉnh)
\(\Rightarrow \angle BEI+\angle BIE=\angle DCI+\angle DIC\) (*)
Xét tam giác BIE ta có:
\(\angle ABC=\angle BIE+\angle BEI\) (góc ngoài của 1 tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó) (**)
Từ (*) và (**) ta có: \(\angle ABC=\angle DCI+\angle DIC\) hay \(\angle ABC=\angle ACB+\angle DIC\)
Theo giả thiết, ta có: \(\angle ABC=2\angle ACB\)
\(\Rightarrow \angle DCI=\angle DIC\Rightarrow \Delta DIC\) cân tại \(D\Rightarrow DI=DC\)
Vì BI = ID (chứng minh trên) nên BI = DC.
\(\Rightarrow \) AC = AD + DC = AB + BI (đpcm)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là: