Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AC. K là điểm đối xứng với M qua điểm I.
a) Chứng minh tứ giác AMCK là hình chữ nhật
b) Tứ giác AKMB là hình gì? Vì sao?
c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AMCK là hình vuông
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Tam giác ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow AM\bot BC\Rightarrow \widehat{AMC}=90{}^\circ \)
Xét tứ giác AMCK có:
\(\begin{align} & AI=IC(gt) \\ & MI=IK(gt) \\ & AC\cap MK=I(gt) \\\end{align}\)
Suy ra tứ giác AMCK là hình bình hành (dhnb).
Lại có: \(\widehat{AMC}=90{}^\circ (cmt)\) nên hình bình hành AMCK là hình chữ nhật.
b) Ta có:
\(AK\parallel MC\) ( do AMCK là hình chữ nhật), \(M\in BC(gt)\Rightarrow AK\parallel BM\)
Mà \(BM=MC\) ( do AM là trung tuyến), \(AK=MC\) (do AMCK là hình chữ nhật) nên \(AK=BM\) (tính chất bắc cầu)
Xét tứ giác ABMK có:
\(\begin{align} & AK=BM(cmt) \\ & AK\parallel BM(cmt) \\\end{align}\)
Suy ra tứ giác ABMK là hình bình hành.
c) Hình chữ nhật AMCK là hình vuông \(\Leftrightarrow AM=MC\)
Mà \(MC=\frac{1}{2}BC(gt)\) nên \(AM=MC\Leftrightarrow AM=\frac{1}{2}BC\)
Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên \(AM=\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow \) tam giác ABC vuông tại A.
Vậy nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCK là hình vuông.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)