Cho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC,
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình vuông ABCD, gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CE cắt DF ở M. Tính tỷ số \(\frac{{{S}_{\Delta CMD}}}{{{S}_{ABCD}}}\)?
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét \(\Delta DCF\) và \(\Delta CBE\) có:
DC = BC (gt)
\(\widehat{C}=\widehat{B}={{90}^{0}}\)
BE = CF
\(\Rightarrow \Delta DCF=\Delta CBE\ (c-g-c)\)
\(\Rightarrow \widehat{CDF}=\widehat{BCE}\)
Mà \(\widehat{BCE}+\widehat{ECD}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{CDF}+\widehat{ECD}=\widehat{CDM}+\widehat{MCD}={{90}^{0}}\)
\(\Rightarrow \Delta CMD\) vuông ở M.
Xét \(\Delta CMD\) và \(\Delta FCD\) ta có:
\(\widehat{CMD}=\widehat{FCD}={{90}^{0}}\)
\(\widehat{CDM}\) chung
\(\Rightarrow \Delta CMD\backsim \Delta FCD\ (g-g)\)
\(\Rightarrow \frac{CD}{FD}=\frac{CM}{FC}\)
\(\Rightarrow \frac{{{S}_{\Delta CMD}}}{{{S}_{\Delta FCD}}}=\frac{C{{D}^{2}}}{F{{D}^{2}}}\Rightarrow {{S}_{\Delta CMD}}=\frac{C{{D}^{2}}}{F{{D}^{2}}}.{{S}_{\Delta FCD}}\)
Mà \({{S}_{\Delta FCD}}=\frac{1}{2}CF.CD=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}BC.CD=\frac{1}{4}C{{D}^{2}}\)
Vậy \({{S}_{\Delta CMD}}=\frac{C{{D}^{2}}}{F{{D}^{2}}}.\frac{1}{4}C{{D}^{2}}=\frac{1}{4}\frac{C{{D}^{4}}}{F{{D}^{2}}}\ (*)\)
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác vuông DFC, ta có:
\(D{{F}^{2}}=C{{D}^{2}}+C{{F}^{2}}=C{{D}^{2}}+{{(\frac{1}{2}BC)}^{2}}=C{{D}^{2}}+\frac{1}{4}C{{D}^{2}}=\frac{5}{4}C{{D}^{2}}\)
Thay \(D{{F}^{2}}=\frac{5}{4}C{{D}^{2}}\) vào (*) ta có: \({{S}_{\Delta CMD}}=\frac{1}{4}\frac{C{{D}^{4}}}{\frac{5}{4}C{{D}^{2}}}=\frac{1}{5}C{{D}^{2}}=\frac{1}{5}{{S}_{ABCD}}\)
Vậy \(\frac{{{S}_{\Delta CMD}}}{{{S}_{ABCD}}}=\frac{1}{5}\).
Chú ý:
- Học sinh cần viết các cặp tam giác đồng dạng theo đúng thứ tự đỉnh tương ứng của 2 tam giác.
- Học sinh cần chú ý trong kĩ năng đại số biến đổi tỉ lệ thức về dạng biểu thức để tính độ dài, tránh mắc sai lầm trong tính toán.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng: