Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng với O qua AD và BC .
a) Chứng minh rằng các tứ giác AODE,BOCF là hình vuông
b) Nối EC cắt DF tại I. Chứng minh rằng \(OI\bot CD\)
c) Biết diện tích hình lục giác ABFCDE = 6 .Tính độ dài các cạnh của hình vuông ABCD
d) (Dành cho lớp 8a) Lấy K là 1 điểm bất kì trên BC. Gọi G là trọng tâm của tam giác AIK.Chứng minh G thuộc 1 đường thẳng cố định khi K di chuyển trên BC
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Gọi giao điểm của AD và EO là T
Giao điểm của BC và OF là H
Xét tứ giác EAOD có
\(\left. \begin{align} & AT=TD \\ & ET=TO \\ \end{align} \right\}\Rightarrow EAOD\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Mà \(AD\bot EO\) nên tứ giác \(EAOD\) là hình thoi.
Hình thoi \(EAOD\) có \(\widehat{AOD}={{90}^{0}}\) nên là hình vuông.
Vậy EAOD là hình vuông theo dấu hiệu nhận biết hình thoi có 1 góc vuông.
Chứng minh tương tự với tứ giac OBFC.
b) Xét 2 tam giác ECF và FDE có:
\(\left. \begin{align} & \widehat{CFE}=\widehat{DEF}={{45}^{0}} \\ & \text{EF chung} \\ & FC=DE \\ \end{align} \right\}\Rightarrow \Delta ECF=\Delta FDE\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{FEC}=\widehat{EFD}\left( t/u \right)\)
Vậy tam giác EFI cân.
Mà O là trung điểm của EF \(\Rightarrow OI\bot EF\,\,\,\left( t/c \right)\)
c) Ta có:
\(\begin{align} & \Delta AED=\Delta ABO=\Delta BCO=\Delta COD=\Delta DOA=\Delta BFC \\ & {{S}_{\Delta AED}}+{{S}_{\Delta ABO}}+{{S}_{\Delta BCO}}+{{S}_{\Delta COD}}+{{S}_{\Delta DOA}}+{{S}_{\Delta BFC}}={{S}_{ABFCDE}}=6 \\ & \Rightarrow {{S}_{\Delta ABO}}={{S}_{\Delta BCO}}={{S}_{\Delta COD}}={{S}_{\Delta DOA}}=1 \\ & \Rightarrow {{S}_{ABCD}}={{S}_{\Delta ABO}}+{{S}_{\Delta BCO}}+{{S}_{\Delta COD}}+{{S}_{\Delta DOA}}=4 \\ & \Rightarrow AB=BC=CD=AD=\sqrt{4}=2 \\ \end{align}\)
d) Gọi \(M\) là giao điểm của \(IO\) với \(AB,N\) là giao điểm của \(IM\) cới \(AK\), ta có:
\(IO\bot FE\Rightarrow IO\bot AB\Rightarrow OM\bot AB\), mà \(O\) là trung điểm của của \(HT\) nên \(M\) là trung điểm của \(AB\).
Xét tam giác \(ABK\) có:
\(MA=MB\) (cmt)\(MN//BK\) (vì \(MO//CD\))
Do đó \(NA=NK\Rightarrow N\) là trung điểm của \(AK\Rightarrow IN\) là đường trung tuyến của \(\Delta AIK\).
Mà \(G\) là trọng tậm tam giác nên \(G\in IN\Rightarrow G\in IM\) với \(IM\) cố định (\(I,M\) cố định).
Vậy điểm \(G\) luôn nằm trên đường thẳng cố định \(IM\).
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1: