Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, widehatA=60^0. Gọi E, F lần lượt
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình bình hành ABCD có AD = 2AB, \(\widehat{A}={{60}^{0}}\). Gọi E, F lần lượt là trung điểm BC và AD.
a) Chứng minh AE \(\bot \) BF.
b) Chứng minh tứ giác BFDC là hình thang cân.
c) Lấy M đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
Suy ra M, E, D thẳng hàng.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Do E là trung điểm của BC nên \(BE=EC=\frac{1}{2}BC\)
F là trung điểm của AD nên \(AF=FD=\frac{1}{2}AD\)
Mà AD = BC (do ABCD là hình bình hành), nên BE = AF. (1)
Ta lại có BE // AF (do ABCD là hình bình hành) (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABEF là hình bình hành. (3)
Ta có \(AD=2AB\Rightarrow AB=\frac{1}{2}AD\Rightarrow AB=BE\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra ABEF là hình thoi, suy ra \(AE\bot BF\) (hình thoi có hai đường chéo vuông góc).
b) Xét tam giác ABF có: AB = AF nên tam giác ABF cân tại A.
Lại có \(\angle A = {60^0}\), suy ra tam giác ABF là tam giác đều \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BF = AB = AF\\\angle ABF = {60^0}\end{array} \right.\) (tính chất tam giác đều)
Ta có: \(\angle A = {60^0} \Rightarrow \angle BCD = {60^0}\) (tính chất hình bình hành)
Vì \(\angle A + \angle ABC = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle ABC ={180^0}- \angle A = {120^0}.\\ \Rightarrow \angle FBC = \angle ABC - \angle ABF = {120^0} - {60^0} = {60^0}\\ \Rightarrow \angle FBC = \angle BCD = {60^0}.\end{array}\)
Xét tứ giác FDBC có:
FD // BC (do ABCD là hình bình hành)
\(\angle FBC = \angle BCD = {60^0}\;\;\left( {cmt} \right)\)
Suy ra BFDC là hình thang cân. (dhnb).
c) Xét tứ giác BMCD có BM = CD (= AB), BM // CD nên tứ giác BMCD là hình bình hành (5)
Xét tam giác ABD có: \(BF=AF=FD=\frac{1}{2}AD\)
Suy ra tam giác ABD vuông tại B.
Suy ra \(\widehat{MBD}={{90}^{0}}\)(6)
Từ (5) và 6 suy ra BMCD là hình chữ nhật.
Có E là trung điểm của BC \(\Rightarrow \) E là giao điểm của hai đường chéo hình chữ nhật.
\(\Rightarrow \) M, E, D thẳng hàng.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )