Cho đa thức P( x ) = ax^3 + bx^2 + cx + d có các hệ số a,b,c,d nguyên.
Câu hỏi
Nhận biếtCho đa thức \(P\left( x \right) = a\,{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có các hệ số \(a,b,c,d\) nguyên. Biết \(P\left( x \right) \vdots 5\) với mọi số nguyên \(x.\) Chứng minh : \(a;b;c;d\) chia hết cho 5.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(P\left( 0 \right) = d \Rightarrow d \vdots 5\)
\(P\left( 1 \right) = a + b + c + d\) \( \Rightarrow \left( {a + b + c + d} \right) \vdots 5\) (1) \( \Rightarrow \left( {a + b + c} \right) \vdots 5\) (do \(d \vdots 5\))
\(P\left( { - 1} \right) = - a + b - c + d \Rightarrow \left( { - a + b - c + d} \right) \vdots 5\) (2)
Cộng (1) và (2) ta có: \(\left( {2b + 2d} \right) \vdots 5\)
Mà \(d \vdots 5 \Rightarrow 2d \vdots 5 \Rightarrow 2b \vdots 5 \Rightarrow b \vdots 5\)
\(P\left( 2 \right) = 8a + 4b + 2c + d \Rightarrow \left( {8a + 4b + 2c + d} \right) \vdots 5\)
\( \Rightarrow \left( {8a + 2c} \right) \vdots 5\) (vì \(\left( {4b + d} \right) \vdots 5\))
\( \Rightarrow \left( {6a + 2a + 2c} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left[ {6a + 2\left( {a + c} \right)} \right] \vdots 5\)
Mà \(\left( {a + c} \right) \vdots 5\) (vì \(\left( {a + b + c} \right) \vdots 5\) và \(b \vdots 5\))
\( \Rightarrow 6a \vdots 5 \Rightarrow a \vdots 5 \Rightarrow c \vdots 5\)
Vậy a, b, c, d chia hết cho 5.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là:
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)