Cho ∆ ABC vuông tại A , có D là trung điểm của BC . Gọi E,F lần lượt
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) , có \(D\) là trung điểm của \(BC\) . Gọi \(E,\,F\) lần lượt là hình chiếu của \(D\) trên \(AB\) và \(AC\) .
1. Chứng minh: \(A{\rm{D}} = EF\)
2. Gọi K là điểm đối xứng với \(D\) qua \(E\) . Chứng minh ba đường thẳng \(A{\rm{D}},\,EF,\,KC\) đồng quy.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1. Xét tứ giác \(A{\rm{ED}}F\) có: \(\angle BAC = \angle A{\rm{ED}} = \angle AFD = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow A{\rm{ED}}F\) là hình chữ nhật (dhnb)
\( \Rightarrow A{\rm{D}} = EF\) (tính chất hình chữ nhật)
2. Gọi \(O\) là giao điểm của \(EF\) và \(A{\rm{D}} \Rightarrow {\rm{O}}\)là trung điểm của \(EF\) và \(A{\rm{D}}\)(tính chất hình chữ nhật) (1)
\( \Rightarrow OE = OF\) (tính chất trung điểm)
Do D và K đối xứng nhau qua E nên suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}DK \bot AB\\ED = KE\end{array} \right.\) (tính chất đối xứng)
Mà \(AC \bot AB\left( {gt} \right) \Rightarrow DK//AC\) (từ vuông góc đến song song)
Ta có: \(ED\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\) (E, D là
trung điểm của AB, BC (gt))
\( \Rightarrow ED = \frac{1}{2}BC \Rightarrow BC = 2ED.\)
Xét tứ giác \(AKDC\) ta có:
\(\begin{array}{l}BC//KD\;\;\left( {cmt} \right)\\KD = BC\;\;\left( { = 2KD} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow AKDC\) là hình bình hành (dhnb)
\( \Rightarrow KC,\;EF\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất)
Mà O là trung điểm của EF (cách gọi)
\( \Rightarrow KC,\;\;EF,\;\;AD\) đồng quy tại \(O.\) (đpcm)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)