Cho ∆ ABC có góc A = 90^0 và AH là đường cao. Gọi D là điểm đối xứng
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) có \(\angle A = {90^0}\) và \(AH\) là đường cao. Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AB,\,E\) là điểm đối xứng với \(H\) qua \(AC\) . Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB\) và \(DH,\,K\) là giao điểm của \(AC\) và \(HE\) .
a. Tứ giác \(AIHK\) là hình gì? Vì sao?
b. Chứng minh ba điểm \(D,\,A,\,E\) thẳng hàng.
c. Chứng minh: \(CB = B{\rm{D}} + CE\)
d. Biết diện tích tứ giác \(AIHK\) là \(a\) (đvdt). Tính diện tích \(\Delta DHE\) theo \(a\) .
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a. Vì \(D\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AB\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DI = IH\\DH \bot AB = \left\{ I \right\}\end{array} \right.\) (tính chất đối xứng trục)
\( \Rightarrow \angle HIA = {90^0}\)
Vì \(H\) và \(E\) đối xứng với nhau qua \(AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HK = KE\\HE \bot AC = \left\{ K \right\}\end{array} \right.\) (tính chất đối xứng trục)
\( \Rightarrow \angle HKA = {90^0}\)
Xét tứ giác \(AIHK\) có: \(\angle AIH = \angle IAK = \angle AKH = {90^0} \Rightarrow AIHK\) là hình chữ nhật (dhnb)
b. Vì \(D\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AB\left( {gt} \right) \Rightarrow AB\) là đường trung trực của \(DH\) (tính chất)
\( \Rightarrow DA = AH\) (tính chất)
\( \Rightarrow \Delta A{\rm{D}}H\) cân tại \(A\).
Mà \(AI\) là đường cao nên cũng là tia phân giác của \(\angle DAH\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle DAI = \angle IAH\) (tính chất tia phân giác) (1)
Vì \(E\) và \(H\) đối xứng với nhau qua \(AC\left( {gt} \right) \Rightarrow AC\) là đường trung trực của \(EH\) (tính chất)
\( \Rightarrow HA = AE\) (tính chất điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)
\( \Rightarrow \Delta AEH\) cân tại \(A\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Mà \(AK\) là đường cao nên cũng là tia phân giác của \(\angle EAH\) (tính chất tam giác cân)
\( \Rightarrow \angle HAK = \angle KAE\) (tính chất tia phân giác) (2)
Lại có: \(\angle IAH + \angle HAK = {90^0}\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DAI + \angle K{\rm{AE}} = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle DAI + \angle IAH + \angle HAK + \angle K{\rm{AE}} = {180^0} \Rightarrow D,\,A,\,E\) thẳng hàng.
c. Vì \(AB\) là đường trung trực của \(DH\left( {cmt} \right) \Rightarrow DB = BH\) (tính chất)
Vì \(AC\) là đường trung trực của \(EH\left( {cmt} \right) \Rightarrow HC = CE\) (tính chất)
Mà \(BC = BH + HC \Rightarrow BC = B{\rm{D}} + CE\). (đpcm)
d. Do \(\Delta A{\rm{D}}H\) là tam giác cân tại \(A\left( {cmt} \right)\) mà \(AI\) là đường cao nên\( \Rightarrow {S_{\Delta DAI}} = {S_{\Delta HAI}}\)
Lại có, \(\Delta AHE\) cân tại \(A\left( {cmt} \right)\) mà \(AK\) là đường cao nên\( \Rightarrow {S_{\Delta AHK}} = {S_{\Delta AKE}}\)
Do đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{AIHK}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}}\\{S_{DEH}} = {S_{AIH}} + {S_{AHK}} + {S_{DAI}} + {S_{AKE}} = 2\left( {{S_{AIH}} + {S_{AHK}}} \right) = 2{S_{AIHK}} = 2a\end{array} \right.\)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)