Cho ∆ ABC có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) có 3 góc nhọn, đường cao AH, BK, CL cắt nhau tại I. Gọi D, E, F là trung điểm của BC, CA, AB. Gọi P, Q, R là trung điểm của IA, IB, IC.
a) Chứng minh: PFDR, PEDQ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: PD, QE, RF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn thẳng.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Xét \(\Delta ABI\) có \(FA = FB\left( {gt} \right);PI = PA\left( {gt} \right) \Rightarrow FP\) là đường trung bình của \(\Delta ABI\)
\( \Rightarrow FP//BI\left( {t/c} \right) \Rightarrow FP//BK\)
Mà \(BK \bot AC\left( {gt} \right)\) nên \(FP \bot AC\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta AIC\) có \(PA = PI\left( {gt} \right);RI = RC\left( {gt} \right) \Rightarrow PR\) là đường trung bình của tam giác
\( \Rightarrow PR//AC;PR = {1 \over 2}AC\left( {t/c} \right)\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(FP \bot PR\) (từ vuông góc đến song song)
Xét \(\Delta ABC\) có \(FB = FA\left( {gt} \right);DB = DC\left( {gt} \right) \Rightarrow DF\) là đường trung bình của tam giác
Từ (2) và (3) ta có \(PR//DF;PR = DF\) nên PRDF là hình bình hành.
Lại có \(PF//BK;BK \bot AC;AC//PR\) nên \(PF \bot PR\) nên hình bình hành là hình chữ nhật.
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\left\{ \matrix{PE//CL \cr CL \bot AB \cr AB//PQ \cr} \right. \Rightarrow PE \bot PQ\) và \(PQ//DE//AB;PQ = DE = {1 \over 2}AB\) nên PEDQ là hình bình hành.
Do đó PEDQ là hình chữ nhật.
b) PEDQ là hình chữ nhật nên PD cắt EQ tại trung điểm O của PD và EQ
Lại có PFDR là hình chữ nhật nên PD cắt FR tại trung điểm O của pD và FR
Do đó O là trung điểm các đoạn thẳng \(PD,FR,EQ\)
Vậy ba đường thẳng \(PD,FR,EQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là: