Cho ∆ ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho BD=BA
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D sao cho \(BD=BA\) . Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho \(CE=CA\). Kẻ trung tuyến BM của \(\Delta ABD\), trung tuyến CN của \(\Delta ACE\), BM và CN cắt nhau tại O. Chứng minh AO vuông góc với DE.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì BM và CN là đường trung tuyến thuộc cạnh đáy AD và AC của tam giác cân ABD và ACE nên BM là đường trung trực của AD, CN là đường trung trực của AE.
Vì O là giao điểm của BM và CN nên ta có: \(\left\{ \begin{align} & OA=OD \\ & OA=OE \\ \end{align} \right.\Rightarrow OD=OE\)
Vậy O thuộc đường trung trực của DE. (1)
\(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (tính chất tam giác cân)
Mà: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{ABC}+\widehat{ABD}={{180}^{0}} \\ & \widehat{ACE}+\widehat{ACB}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) \(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\) .
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow AB=AC\) (tính chất tam giác cân) mà \(\left\{ \begin{align} & BD=AB \\ & CE=AC \\ \end{align} \right.\left( gt \right)\Rightarrow AB=AC=BD=CE.\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:
\(\left\{ \begin{align} & AB=AC \\ & \widehat{ABD}=\widehat{ACE} \\ & DB=CE \\ \end{align} \right.\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=AE\) (2 cạnh tương ứng)
Vậy A thuộc đường trung trực của DE. (2)
Từ (1) và (2) suy ra AO là đường trung trực của DE. Vậy \(AO\bot DE.\)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là:
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)