a) Cho ab là các số thực. Chứng minh rằng (a + b)^2 ge 4ab. b) Cho hai số dương ab có a + b = 1. T
Câu hỏi
Nhận biếta) Cho \(a,b\) là các số thực. Chứng minh rằng \({(a + b)^2} \ge 4ab\).
b) Cho hai số dương \(a,\,\,b\) có \(a + b = 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(A = \frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}}\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có: \({(a - b)^2} \ge 0\,\,\,\forall a,\,b \in \mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} + 4ab \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\\ \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b\).
b) Ta có \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 4ab\) (câu a) \( \Rightarrow \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \ge ab\)
Vì \(a,\,\,b\) dương nên suy ra \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{{a + b}}{{ab}} \ge \frac{{a + b}}{{\frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}}} = \frac{4}{{a + b}}\)hay \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\,\,\,\,(*)\).
Áp dụng bất đẳng thức: Với \(a,\,\,b > 0\) ta có:
\(\frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}} \ge \frac{4}{{1 + 3ab + {a^2} + 1 + 3ab + {b^2}}} = \frac{4}{{{{(a + b)}^2} + 4ab + 2}}\)
Mà \(a + b = 1\) nên \(\frac{1}{{1 + 3ab + {a^2}}} + \frac{1}{{1 + 3ab + {b^2}}} \ge \frac{4}{{{1^2} + 4ab + 2}} = \frac{4}{{3 + 4ab}}\,\,\,(1)\)
Lại có: \({(a - b)^2} \ge 0\,\,\forall a,b\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} \ge 4ab\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\forall a,b\\ \Rightarrow ab \le {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\,\,\, \Rightarrow ab \le \frac{1}{4}\,\,\,\,(2)\end{array}\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(A \ge \frac{4}{{3 + 4.\frac{1}{4}}} = 1\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.\)
Vậy \(\min A = 1 \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.\)
Chọn C.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)