Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE = 13AB. Đường
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho \(BE = \frac{1}{3}AB\). Đường thẳng DE cắt CB kéo dài tại K.
a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác BKE
b) Gọi H là hình chiếu của C trên DE. Chứng minh \(AD.HD = HC.AE\)
c) Tính diện tích tam giác CDK khi độ dài \(AB = 6cm\)
d) Chứng minh \(CH.KD = C{D^2} + CB.KB\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác BKE
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta BKE\) có:
\(\angle AED = \angle BEK\) (đối đỉnh)
\(\angle DAE = \angle KBE\) (\( = {90^o}\) do ABCD là hình vuông)
\( \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta BKE\;\left( {g - g} \right)\;\;\left( {dpcm} \right).\)
b) Gọi H là hình chiếu của C trên DE. Chứng minh \(AD.HD = HC.AE\)
Ta có: ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AB//CD\)
\( \Rightarrow \angle AED = \angle HDC\) (so le trong)
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta HCD\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AED = \angle HDC\;\;\left( {cmt} \right)\\\angle DAE = \angle CHD = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta ADE \sim \Delta HCD\;\;\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{HC}} = \frac{{AE}}{{HD}} \Rightarrow AD.HD = HC.AE\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
c) Tính diện tích tam giác CDK khi độ dài \(AB = 6cm\)
Ta có: \(\Delta ADE \sim \Delta BKE\;\;\left( {cmt} \right) \Rightarrow \frac{{AE}}{{BE}} = \frac{{AD}}{{BK}}\) hay \(\frac{{AD}}{{BK}} = 2 \Rightarrow BK = \frac{1}{2}AD\)
Do ABCD là hình vuông \( \Rightarrow AD = AB = BC = CD = 6cm\)
\( \Rightarrow BK = \frac{1}{2}AD = 3cm \Rightarrow CK = BC + BK = 6 + 3 = 9\,\,(cm)\)
Ta có \(\Delta CDK\) vuông tại C (ABCD là hình vuông)
\( \Rightarrow {S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}.6.9 = 27\,\,(c{m^2})\)
d) Chứng minh \(CH.KD = C{D^2} + CB.KB\)
Ta có: \({S_{\Delta CDK}} = \frac{1}{2}.CD.CK = \frac{1}{2}CH.KD \Rightarrow CH.KD = CD.CK\)
Mà \(CK = BC + BK \Rightarrow CH.KD = CD\left( {BC + BK} \right)\)
\( \Leftrightarrow CH.KD = CD.BC + CD.KB\)
Lại có \(CD = CB\) (ABCD là hình vuông) \( \Rightarrow CH.KD = C{D^2} + CB.KB\) (đpcm)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi: