Cho tam giác ABC cân ở A có đường cao AH( H thuộc BC ) . a) Chứng mi
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác \(ABC\) cân ở \(A\) có đường cao \(AH\left( {H \in BC} \right)\) .
a) Chứng minh: \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(\angle BAH = \angle HAC.\)
b) Kẻ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\) , \(H{\rm N}\) vuông góc với \(AC\) tại \({\rm N}\) . Chứng minh: Tam giác \(AM{\rm N}\) cân ở \(A\) .
c) Vẽ điểm \(P\) sao cho điểm \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm N}P\) . Chứng minh: Đường thẳng \(BC\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(MP\) .
d) \(MP\) cắt \(BC\) tại điểm \(K.\) \({\rm N}K\) cắt \(MH\) tại điểm \(D.\) Chứng minh: ba đường thẳng \(AH,M{\rm N},DP\) cùng đi qua một điểm.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Chứng minh: \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(\angle BAH = \angle HAC.\)
Xét \(\Delta ABH\& \Delta ACH\) ta có :
\(\begin{array}{l}AB = AC\\\angle B = \angle C\end{array}\) (do \(\Delta ABC\) cân tại A)
\(\angle AHB = \angle AHC = {90^0}\,\left( {GT} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta ABH = \Delta ACH\) (cạnh huyền- góc nhọn)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HB = HB\\\angle BAH = \angle HAC.\end{array} \right.\) (cạnh và góc tương ứng)
Hay \(H\) là trung điểm của \(BC\) và \(\angle BAH = \angle HAC.\)
b)
Xét \(\Delta AMH\& \Delta A{\rm N}H\) ta có:
\(AH\,chung\)
\(\angle MAH = \angle {\rm N}AC.\)(cmt)
\(\angle AMH = \angle A{\rm N}H = {90^0}\,(GT)\)
\( \Rightarrow \Delta AMH = \Delta A{\rm N}H\) (cạnh huyền_góc nhọn)
\( \Rightarrow AM = A{\rm N}\) (cạnh tương ứng)
Vậy \(\Delta AM{\rm N}\) có \(AM = A{\rm N}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta AM{\rm N}\) là tam giác cân tại \(A\) .
c) Ta có: \(H\) là trung điểm của đoạn thẳng \({\rm N}P\)
\( \Rightarrow HP = H{\rm N}\) (1)
Mà \(\Delta AMH = \Delta A{\rm N}H\,\,\left( {cmt} \right)\)\( \Rightarrow HM = H{\rm N}\) (2) (cạnh tương tứng)
Từ (1) và (2) suy ra: \(HP = HM = H{\rm N}\)
Trong \(\Delta M{\rm N}P\) có đường trung tuyến bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác đó là tam giác vuông.
\(M{\rm N} \bot MP\)
Gọi O là giao điểm của AH với MN.
Vì \(\Delta AM{N}\) là tam giác cân nên \(AO\bot MN\,\,\,hay\,\,\,AH\bot MN \,\,\,\left( 3 \right)\)
Lại có : \(AH\bot BC\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) suy ra : \(MN //BC\)
Mà \(M{ N} \bot MP \Rightarrow BC \bot MP \Rightarrow HK \bot MP\)
Xét tam giác \(\Delta HMP\) có \(HM=HP\left( cmt \right)\Rightarrow \Delta HMP\) cân tại H.
Có \(HK\bot MP\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow HK\) là đường cao của \(\Delta HMP\)
Hay \(BC\) chính là đường trung trực của MP (đpcm).
d) Trong tam giác \(\Delta MNP\) có : \(MH;\,NK\) là hai đường trung tuyến lần lượt xuất phát từ đỉnh M và N.
Mà \(NK\) cắt \(MH\) tại điểm \(D\) (gt)
\( \Rightarrow D\) là trọng tâm của tam giác \(MNP\)
Lại có : O là trung điểm của MN
do đó : \(PO\) là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(P\Rightarrow PD\) đi qua O. (5)
Mặt khác : O là giao điểm của AH với MN. (6)
Từ (5) và (6) suy ra : ba đường thẳng \(AH;MN;DP\) cùng đi qua 1 điểm đó là điểm O. (đpcm)
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là:
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)