Cho ∆ ABC cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự lần lượt 2 điểm D và E sao cho BD = CE.
a) Chứng minh \(\Delta ADE\) cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của \(\widehat{DAE}\).
c) Từ B và C kẻ BH và CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. Chứng minh 3 đường thẳng AM, BH, CK đồng quy.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có \(\left\{ \begin{align} & \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{ABD}={{180}^{0}} \\ & \widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{ACE}={{180}^{0}} \\ \end{align} \right.\) (kề bù) mà \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) \(\Rightarrow \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\)(tính chất tam giác cân)
\(\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{ACE}\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACE\) có:
AB = AC (gt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ACE}\left( cmt \right)\)
BD = CE (gt)
\(\Rightarrow \Delta ABD=\Delta ACE\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=AE\)(2 cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow \Delta ADE\)cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân).
b) Vì \(\Delta ABD=\Delta ACE\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{DAB}=\widehat{KAC}\)(2 góc tương ứng).
Vì M là trung điểm của BC (gt) mà \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) suy ra AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (tính chất tam giác cân)
\(\Rightarrow \widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (tính chất tia phân giác).
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{DAM}=\widehat{DAB}+\widehat{BAM} \\ & \widehat{MAE}=\widehat{CAE}+\widehat{MAC} \\ & \widehat{DAB}=\widehat{KAC}\left( cmt \right) \\ & \widehat{BAM}=\widehat{MAC}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{DAM}=\widehat{MAE}\)
Suy ra AM là phân giác của \(\widehat{DAE}\).
c) Xét \({{\Delta }_{v}}AHB\) và \({{\Delta }_{v}}AKC\) có:
AB = AC (gt)
\(\widehat{HAB}=\widehat{KAC}\left( cmt \right)\)
\(\Rightarrow {{\Delta }_{v}}AHB={{\Delta }_{v}}AKC\)(cạnh huyền – góc nhọn)
\(\Rightarrow \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\)(2 góc tương ứng)
Ta gọi BH và CK giao nhau tại I.
Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \widehat{{{B}_{1}}}+\widehat{{{B}_{2}}}+\widehat{{{B}_{3}}}={{180}^{0}}\left( gt \right) \\ & \widehat{{{C}_{1}}}+\widehat{{{C}_{2}}}+\widehat{{{C}_{3}}}={{180}^{0}}\left( gt \right) \\ & \widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\left( cmt \right) \\ & \widehat{{{B}_{2}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\left( cmt \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{{{B}_{3}}}=\widehat{{{C}_{3}}}\)
\(\Rightarrow \Delta BIC\) cân tại I (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)
Suy ra I thuộc đường trung trực của BC.
Lại có \(\Delta ABC\) cân tại A (gt) và AM là phân giác của \(\widehat{BAC}\) (cmt) suy ra AM là đường trung trực của \(\Delta ABC\). Vậy A, I, M thẳng hàng. Suy ra AM, BH, CK đồng quy tại I.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Tìm x biết:
a) \(1{2 \over 5}x + {3 \over 7} = - {4 \over 5}\)
b) \({\left( {{x} + {1 \over 3}} \right)^3} = \left( {{{ - 1} \over 8}} \right)\)
c) \(\left| {x + {2 \over 3}} \right| + 2 = 2{1 \over 3}\)
-
Số điểm \(10\) trong kì kiểm tra học kì I của ba bạn Tài, Thảo, Ngân tỉ lệ với \(3;1;2\). Số điểm \(10\) của cả ba bạn đạt được là \(24\). Số điểm \(10\) của bạn Ngân đạt được là
-
Tìm các số tự nhiên x, y biết: \({2^{x + 1}}{.5^y} = {20^x}\)
-
Kết qủa của phép tính \({3 \over 4} + {1 \over 4}:{{12} \over {20}}\) là
-
Tìm \(x, y, z\) biết:
a) \(x + 1 = - 2\)
b) \(x:2 = 10:5\)
c) \({\rm{x:2 = y:3}}\) và\({\rm{x + y = 10}}\)
d) \(3x = 2y; 7y = 5z\) và \(x – y + z = 32\)
-
Giá trị của x trong phép tính \({3 \over 4} - x = {1 \over 3}\) là:
-
Tìm x , biết : \(x:{\left( { - 2} \right)^5} = {\left( { - 2} \right)^3}\) Kết quả x bằng :
-
Tìm các số \(x,y\) biết:
a.\(\frac{x}{5}=\frac{y}{7}\) và \(xy=140\)
b.\(\frac{x}{-3}=\frac{y}{8}\) và \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}=\frac{-44}{5}\)
-
Ba vời nước cùng chảy vào một hồ có dung tích \(15,8{{m}^{3}}\) từ lúc hồ không có nước cho tới khi đầy hồ. Biết rằng thời gian để chảy được \(1{{m}^{3}}\) nước của vòi thứ nhất là \(3\) phút, vòi thứ hai là \(5\) phút và vòi thứ ba là \(8\) phút. Hỏi mỗi vời chảy được bao nhiêu nước vào hồ?
-
Cho \(\left| x \right| = 2\) thì :