Câu 3 (Vận dụng): Cho ∆ ABC (AB < AC), có AD là đường phân giác trong.
Câu hỏi
Nhận biếtCâu 3 (Vận dụng): Cho \(\Delta ABC\) (AB < AC), có AD là đường phân giác trong. Ở miền ngoài \(\Delta ABC\) vẽ tia Cx sao cho \(\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\). Gọi I là giao điểm của Cx và AD. Chứng minh rằng:
a) \(\Delta ADB\backsim \Delta CDI\)
b) \(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\)
c) \(A{{D}^{2}}=AB.AC-BD.DC\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta CDI\) có:
\(\widehat{BCx}=\widehat{BAD}\) (theo gt)
\(\widehat{{{D}_{1}}}=\widehat{{{D}_{2}}}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow \)\(\Delta ADB\backsim \Delta CDI\)(g – g) (đpcm)
b) Ta có: \(\Delta ADB\backsim \Delta CDI\)(cmt)
\(\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{I}\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AIC\) có:
\(\widehat{B}=\widehat{I}\) (cmt)
\(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{A}_{2}}}\) (AD là phân giác)
\(\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta AIC\) (g – g)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\) (đpcm)
c) Vì \(\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{AI}\) nên \(AD.AI=AB.AC\ (1)\)
Mà \(\frac{AD}{CD}=\frac{DB}{DI}\ (\Delta ADB\backsim \Delta CDI)\)
\(\Rightarrow AD.DI=DB.CD\ (2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(AB.AC-DB.CD=AD.AI-AD.DI=AD(AI-DI)=AD.AD=A{{D}^{2}}\)
Hay: \(A{{D}^{2}}=AB.AC-BD.DC\) (đpcm)
Chú ý:
- Học sinh cần viết các cặp tam giác đồng dạng theo đúng thứ tự đỉnh tương ứng của 2 tam giác.
- Học sinh cần chú ý trong kĩ năng biến đổi tỉ lệ thức về dạng biểu thức phù hợp.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là: