Cho biểu thức P = ( 1x - 2 - x^28 - x^3.x^2 + 2x + 4x + 2 ):1x^2 - 4
Câu hỏi
Nhận biếtCho biểu thức \(P = \left( { \frac{1}{{x - 2}} - \frac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}. \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right): \frac{1}{{{x^2} - 4}} \)
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
c) Tìm các số nguyên x để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right) \).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\)
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\8 - {x^3} \ne 0\\x + 2 \ne 0\\{x^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \pm 2\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{{x^2}}}{{8 - {x^3}}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}} = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^3} - 8}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}.\frac{{{x^2} + 2x + 4}}{{x + 2}}} \right):\frac{1}{{{x^2} - 4}}\\\;\;\; = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {{x^2} - 4} \right)\\\;\;\; = \frac{{x + 2 + {x^2}}}{{{x^2} - 4}}.\left( {{x^2} - 4} \right) = {x^2} + x + 2.\end{array}\)
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.
\(P = {x^2} + x + 2 = \left( {{x^2} + x + \frac{1}{4}} \right) + \frac{7}{4} = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} \ge \frac{7}{4}\) với mọi \(x \ne \pm 2\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x + \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)
Vậy \({\min _P} = \frac{7}{4}\) đạt được khi \(x = - \frac{1}{2}\)
c) Tìm các số nguyên x để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\).
Để \(P \vdots \left( {{x^2} + 1} \right)\) thì phép chia trên phải có số dư là 0 \( \Rightarrow x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
Vậy \(x = - 1.\)
Chọn A.
Luyện tập
Câu hỏi liên quan
-
Rút gọn:
\(P = {{\left( {x + 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {4{x^2} - 4x + 1} \right)} \over {\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - {x^2} - 1}}\) (với \(\left( {2x - 1} \right) \ne 0\) )
-
Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:
-
Rút gọn biểu thức \(A = {{\left( {9{x^2} + 12x + 4} \right).\left( {3x - 2} \right)} \over {\left( {3x + 2} \right)}}\)
-
Kết quả của phép tính \(\left( {3x + 1} \right)\left( {9{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng:
-
Tính giá trị của biểu thức \(B = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right) - {x^2} + 7\left( {x - 5} \right)\) tại x = 1:
-
Cho tứ giác ABCD, lấy N, M, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác NMPQ là hình gì?
-
Tìm x biết:
\(a)\;{x^2} - 3x - 10 = 0\) \(b)\;7x\left( {3x - 2} \right) - 4 + 6x = 0\)
-
Biểu thức \(C = {13^{n + 2}} - {13^n}.23\) (với n là số tự nhiên bất kì) luôn chia hết cho số tự nhiên nào dưới đây?
-
Hãy chọn câu đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:
-
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là: