Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng $a\sqrt 3 $. Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABC\), \({d_1}\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \({d_2}\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Tính \(d = {d_1} + {d_2}\).
Phương pháp giải
Xác định hai khoảng cách \({d_1},{d_2}\) trong hình vẽ, sử dụng kiến thức:
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
Lời giải của Tự Học 365
Do tam giác \(ABC\) đều tâm \(O\) suy ra \(AO \bot BC\) tại \(M\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có:\(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,MO = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6},\,OA = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Từ giả thiết hình chóp đều suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right)\), \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{3{a^2}}}{9}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).
Dựng \(OK \bot SM,AH \bot SM \Rightarrow AH{\rm{//}}OK;\,\,\dfrac{{OK}}{{AH}} = \dfrac{{OM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3}\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SO\\BC \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot OK\).
Có \(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot SM\\OK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right),\,AH \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {{\rm{ do } }AH{\rm{//}} OK} \right)\).
Từ đó có \({d_1} = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = 3OK;\,{d_2} = d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OK\).
Trong tam giác vuông $OSM$ có đường cao \(OK\) nên:
\(\dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{{36}}{{3{a^2}}} + \dfrac{9}{{24{a^2}}} = \dfrac{{99}}{{8{a^2}}} \Rightarrow OK = \dfrac{{2a\sqrt 2 }}{{33}}\).
Vậy \(d = {d_1} + {d_2} = 4OK = \dfrac{{8a\sqrt 2 }}{{33}}\).
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
