Lời giải của Tự Học 365

Do $MN{\rm{//}}AD \Rightarrow MN{\rm{//}}BC$. Vậy $\left( {MNP} \right)$ cắt mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ theo giao tuyến đi qua $P$, song song $BC$ và cắt $DC$ tại điểm $I$. Thiết diện của khối chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ chính là hình thang $MNIP$.

Do $\Delta NDI = \Delta MAP$ nên $MP = NI$. Từ đó suy ra $MNIP$ là hình thang cân.

Trong tam giác $SAB$, ta có

$\cos \widehat {SAB} = \dfrac{{S{A^2} + A{B^2} - S{B^2}}}{{2.SA.AB}} = \dfrac{{9{a^2} + 9{a^2} - 27{a^2}}}{{2.3a.3a}} =  - \dfrac{{9{a^2}}}{{18{a^2}}} =  - \dfrac{1}{2}$

Trong tam giác$MAP$, ta có $M{P^2} = M{A^2} + A{P^2} - 2MA.AP.\cos \widehat {MAP} = \dfrac{{9{a^2}}}{4} + 4{a^2} + \dfrac{{3a}}{2} \cdot 2a = \dfrac{{37{a^2}}}{4} \Rightarrow MP = \dfrac{{a\sqrt {37} }}{2}$

Từ $M$ kẻ $MF \bot PI$, từ $N$ kẻ $NE \bot PI$.

Dễ thấy, tứ giác $MNEF$ là hình chữ nhật và từ đó suy ra $MN = EF = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow PF = EI = \dfrac{{3a}}{4}$

Xét tam giác vuông $MFP$, ta có $MF = \sqrt {M{P^2} - F{P^2}}  = \sqrt {\dfrac{{37{a^2}}}{4} - \dfrac{{9{a^2}}}{{16}}}  = \dfrac{{a\sqrt {139} }}{4}$

Ta có ${S_{MNIP}} = \dfrac{{\left( {MN + IP} \right).MF}}{2} = \dfrac{{\left( {\dfrac{{3a}}{2} + 3a} \right) \cdot \dfrac{{a\sqrt {139} }}{4}}}{2} = \dfrac{{9{a^2}\sqrt {139} }}{16}$

Đáp án cần chọn là: d