Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1;1;2} \right)\), mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(M\) cắt các trục tọa độ \(Ox\), \(Oy\), \(Oz\) lần lượt tại \(A\), \(B\), \(C\).( \(A\), \(B\), \(C\) có tọa độ dương ). Gọi \({V_{OABC}}\) là thể tích tứ diện \(OABC\). Khi \(\left( P \right)\) thay đổi tìm giá trị nhỏ nhất của \({V_{OABC}}\).
Phương pháp giải
- Gọi tọa độ các điểm \(A,B,C\) và viết phương trình \(\left( P \right)\)
- Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện vuông \(V = \dfrac{1}{6}abc\) và bất đẳng thức Cô – si đánh giá GTNN của \(V\)
Lời giải của Tự Học 365
Giả sử \(A(a;0;0),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right){\rm{ }}\left( {a,b,c > 0} \right)\)
Mặt phẳng \((P):\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1\)
Do \(M \in (P)\) nên \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{c} = 1 \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{2}{{abc}}}} \Rightarrow abc \ge 54\)
\({V_{OABC}} = \dfrac{1}{6}abc \ge 9\). Vậy \(\min {V_{OABC}} = 9\).
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
