Lời giải của Tự Học 365

$\sin \,x{\cos ^3}x - \cos x{\sin ^3}x$ $ = \sin \,x.\dfrac{{3\cos x + \cos 3x}}{4} - \cos x.\dfrac{{3\sin \,x - \sin 3x}}{4}$

$ = \dfrac{3}{4}\sin \,x\cos x + \dfrac{1}{4}\sin \,x\cos 3x$ $ - \dfrac{3}{4}\sin \,x\cos \,x + \dfrac{1}{4}\sin 3x\cos x$

$ = \dfrac{1}{4}\left( {\sin \,x\cos 3x + \sin 3x\cos x} \right)$ $ = \dfrac{1}{4}\sin (x + 3x) = \dfrac{{\sin 4x}}{4}$

${\sin ^4}x + {\cos ^4}x$ $ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x$ $ = 1 - \dfrac{1}{2}{\sin ^2}2x$ $ = 1 - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{1 - \cos 4x}}{2} = \dfrac{{3 + \cos 4x}}{4}$

${\cot ^2}x + {\tan ^2}x$ $ = \dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} + \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}$ $ = \dfrac{{{{\cos }^4}x + {{\sin }^4}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}$ $ = \dfrac{{\dfrac{{3 + \cos 4x}}{4}}}{{\dfrac{1}{4}{{\sin }^2}2x}}$ $ = \dfrac{{3 + \cos 4x}}{{\dfrac{1}{2}(1 - \cos 4x)}}$ $ = \dfrac{{2\cos 4x + 6}}{{1 - \cos 4x}}$

Đáp án cần chọn là: c