Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực thỏa mãn \(a > 0,\,\,b > 0\) và \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0\) với mọi $x \in \mathbb{R}.$ Tìm giá trị nhỏ nhất \({F_{\min }}\) của biểu thức \(F = \dfrac{{4a + c}}{b}.\)
Phương pháp giải
Tìm điều kiện để $f\left( x \right) \ge 0,\,\,\forall x \in R$, từ đó sử dụng bất đẳng thức Cosi tìm giá trị nhỏ nhất
Lời giải của Tự Học 365
Do hàm số \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c \ge 0,{\rm{ }}\forall x \in R \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta = {b^2} - 4ac \le 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\4ac \ge {b^2}\end{array} \right.\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có \(F = \dfrac{{4a + c}}{b} \ge \dfrac{{2\sqrt {4ac} }}{b} \ge \dfrac{{2\sqrt {{b^2}} }}{b} = \dfrac{{2b}}{b} = 2.\)
Dấu xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}c = 4a\\{b^2} = 4ac\end{array} \right. \Leftrightarrow b = c = 4a.\)
Đáp án cần chọn là: b
Toán Lớp 12
