Biết rằng tồn tại hai giá trị \({m_1}\) và \({m_2}\) để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân: \(2{{\rm{x}}^3} + 2\left( {{m^2} + 2m - 1} \right){x^2} - 7\left( {{m^2} + 2m - 2} \right)x - 54 = 0.\) Tính giá trị của biểu thức \(P = m_1^3 + m_2^3.\)
Phương pháp giải
- Phương trình bậc ba có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì điều kiện cần là \({x_2} = \sqrt[3]{{ - \dfrac{d}{a}}}\) là một nghiệm của phương trình.
- Thay \({x_2}\) tìm được ở trên vào phương trình tìm \(m\)
- Kiểm tra lại các giá trị \(m\) vừa tìm được vào phương trình, giải phương trình và kết luận.
Lời giải của Tự Học 365
Ta có \( - \dfrac{d}{a} = - \dfrac{{ - 54}}{2} = 27.\)
Điều kiện cần để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân là \(x = \sqrt[3]{{27}} = 3\) phải là nghiệm của phương trình đã cho.
\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 8 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 2;m = - 4.\)
Vì giả thiết cho biết tồn tại đúng hai giá trị của tham số \(m\) nên \(m = 2\) và \(m = - 4\) là các giá trị thỏa mãn
Suy ra \(P = {2^3} + {\left( { - 4} \right)^3} = - 56.\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
