Một nhà máy cần thiết kế một chiếc bể đựng nước hình trụ bằng tôn có nắp, có thể tích là \(64\pi \left( {{m^3}} \right)\). Tìm bán kính đáy \(r\) của hình trụ sao cho hình trụ được làm ra tốn ít nhiên liệu nhất.
Phương pháp giải
- Lập hàm số diện tích hình trụ theo biến \(r\).
- Tìm GTNN của hàm số và kết luận.
Lời giải của Tự Học 365
Gọi hình trụ có chiều cao \(h\), bán kính đáy \(r\).
Ta có: \(V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \dfrac{{64\pi }}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{64}}{{{r^2}}}\)
Để tốn ít nhiên liệu nhất thì diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Ta có: \({S_{tp}} = 2{S_{day}} + {S_{xq}} = 2\pi {r^2} + 2\pi rh = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}\).
Xét hàm số \(f\left( r \right) = 2\pi {r^2} + \dfrac{{128\pi }}{r}\) với \(r > 0\).
Ta có \(f'\left( r \right) = 4\pi r - \dfrac{{128\pi }}{{{r^2}}};f'\left( r \right) = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{32}}\,\).
Lập bảng biến thiên ta có \(f\left( r \right)\) đạt GTNN khi \(r = \sqrt[3]{{32}}\).
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
