Lời giải của Tự Học 365

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ : Ta dễ dàng tìm được phương trình parabol là \(y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành là \(S=\int\limits_{-6}^{6}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18 \right)dx}=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{6}+18x \right) \right|_{-6}^{6}=144.\)

Gọi \({{x}_{A}}=a\Rightarrow {{y}_{A}}=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18\) \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng AB : \(y=-\frac{1}{2}{{a}^{2}}+18\) và \({{x}_{C}}=c\Rightarrow {{y}_{c}}=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18\) \(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng CD : \(y=-\frac{1}{2}{{c}^{2}}+18\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng AB là: \(\begin{align} & {{S}_{1}}=\int\limits_{-a}^{a}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18+\frac{1}{2}{{a}^{2}}-18 \right)dx}=\int\limits_{-a}^{a}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+\frac{1}{2}{{a}^{2}} \right)dx}=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{6}+\frac{{{a}^{2}}}{2}x \right) \right|_{-a}^{a}=-\frac{{{a}^{3}}}{6}+\frac{{{a}^{3}}}{2}-\left( \frac{{{a}^{3}}}{6}-\frac{{{a}^{3}}}{2} \right)=\frac{2{{a}^{3}}}{3}. \\ & {{S}_{1}}=\frac{1}{3}S\Rightarrow \frac{2}{3}{{a}^{3}}=\frac{1}{3}.144=48\Rightarrow a=2\sqrt[3]{9}\Rightarrow AB=2a=4\sqrt[3]{9}. \\ \end{align}\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng CD là: \(\begin{align} & {{S}_{2}}=\int\limits_{-c}^{c}{\left( -\frac{1}{2}{{x}^{2}}+18+\frac{1}{2}{{c}^{2}}-18 \right)dx}=\left. \left( -\frac{{{x}^{3}}}{6}+\frac{{{c}^{2}}}{2}x \right) \right|_{-c}^{c}=-\frac{{{c}^{3}}}{6}+\frac{{{c}^{3}}}{2}-\left( \frac{{{c}^{3}}}{6}-\frac{{{c}^{3}}}{2} \right)=\frac{2{{c}^{3}}}{3}. \\ & {{S}_{2}}=\frac{2}{3}S\Rightarrow \frac{2}{3}{{c}^{3}}=\frac{2}{3}.144=96\Rightarrow c=2\sqrt[3]{18}\Rightarrow CD=2c=4\sqrt[3]{18} \\ & \Rightarrow \frac{AB}{CD}=\frac{1}{\sqrt[3]{2}} \\ \end{align}\)

Đáp án cần chọn là: c