Lời giải của Tự Học 365

Theo đề bài, ta có: các tam giác $SAB,\,\,SBC$ có:  $\widehat {ASB} = \widehat {CSB} = {60^0}$ và $SA' = \,\,SB = SC = 2a$

$ \Rightarrow \Delta SAB,\,\,\Delta SBC$ đều, cạnh bằng 2a.

$\Delta SA'C$ vuông cân tại S $ \Rightarrow A'C = SA'.\sqrt 2  = 2\sqrt 2 a$

$ \Rightarrow \Delta A'BC$ vuông cân tại B

Gọi N là trung điểm của A’C $ \Rightarrow SN \bot (A'BC)$

Gọi M là trung điểm của BC $ \Rightarrow MN//A'B$. Mà $A'B \bot BC \Rightarrow MN \bot BC \Rightarrow BC \bot (SMN)$

Ta có: $A'S \cap (SBC) = S,\,\,A'S = 2AS \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A';\left( {SBC} \right)} \right)$

Mặt khác: $A'C \cap (SBC) = C,\,\,A'C = 2NC \Rightarrow d\left( {A';\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {N;\left( {SBC} \right)} \right)$

$ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {N;\left( {SBC} \right)} \right)$

Trong $\left( {SMN} \right)$, kẻ $NH \bot SM \Rightarrow SM \bot (SBC) \Rightarrow d\left( {N;(SBC)} \right) = NH \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = NH$

+) Tính NH:

Ta có: $MN = \dfrac{1}{2}A'B = \dfrac{1}{2}.2a = a$(vì $\Delta SA'B$ đều, cạnh bằng 2a), $SN = \dfrac{1}{2}A'C = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 2 a = \sqrt 2 a$ (vì $\Delta SA'C$ vuông tại S)

$\Delta SMN$ vuông tại N, $NH \bot SM \Rightarrow \dfrac{1}{{N{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{N^2}}} + \dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow NH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

$ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Đáp án cần chọn là: b