Lời giải của Tự Học 365

Gọi \(N\) là trung điểm \(CD\), khi đó \(G\) là trung điểm \(MN\) và \(x\) đi qua trọng tâm \(H\) của tam giác \(BCD\). Ta có \(AH \bot \left( {BCD} \right)\) và $AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} $$ = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} $$ = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Ta có: \(GH = \dfrac{1}{4}AH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

Gọi \(K\) là trung điểm \(CN\) thì \(GK{\rm{//}}CM\) nên \(CM{\rm{//}}\left( {BGK} \right)\). Do đó:

\(d\left( {BG;CM} \right) = d\left( {C;\left( {BGK} \right)} \right)\)\( = d\left( {N;\left( {BGK} \right)} \right)\)\( = \dfrac{3}{2}d\left( {H;\left( {BGK} \right)} \right)\).

Kẻ \(HI \bot BK\), \(HJ \bot GI\) với \(I \in BK\), \(J \in GI\). Khi đó \(HJ \bot \left( {BGK} \right)\) và \(HJ = d\left( {H;\left( {BGK} \right)} \right)\).

Ta có \(BK = \sqrt {B{N^2} + N{K^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 } \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} \)\( = \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\).

Ta có \(HI = BH.\sin \widehat {KBN}\) \( = BH.\dfrac{{KN}}{{BK}}\)\( = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{\sqrt {26} }}{2}}}\)\( = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{{3\sqrt {13} }}\).

Do đó: \(HJ = \dfrac{{HI.HG}}{{\sqrt {H{I^2} + H{G^2}} }}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{2\sqrt 6 }}{{3\sqrt {13} }}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2\sqrt 6 }}{{3\sqrt {13} }}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} }}\)\( = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{3\sqrt 7 }}\).

Vậy \(d\left( {BG;CM} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {H;\left( {BGK} \right)} \right)\)\( = \dfrac{3}{2}HJ\)\( = \dfrac{3}{2}.\dfrac{{2\sqrt 2 }}{{3\sqrt 7 }}\)\( = \dfrac{2}{{\sqrt {14} }}\).

Đáp án cần chọn là: b