Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 10y - 2z - 6 = 0\). Cho m là số thực thỏa mãn giao tuyến của hai mặt phẳng \(y = m\) và \(x + z - 3 = 0\) tiếp xúc vói mặt cầu \(\left( S \right)\). Tính tất cả các giá trị mà m có thể nhận được bằng:
Phương pháp giải
+) Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phẳng đã cho.
+) Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) = R\), với I; R là tâm và bán kính của mặt cầu (S).
Lời giải của Tự Học 365
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 5;1} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {4 + 25 + 1 + 6} = 6\).
Giao tuyến của hai mặt phẳng \(y = m\) và \(x + z - 3 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình $\;\left\{ \begin{array}{l}y = m\\x + z - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = m\\z = 3 - t\end{array} \right.\,\,\left( d \right) \Rightarrow $Đường thẳng (d) đi qua \(M\left( {0;m;3} \right)\) và có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;0; - 1} \right)\).
Đường thẳng (d) tiếp xúc với mặt cầu \(\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) = R\).
\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {m + 5} \right|\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 5 = 6\\m + 5 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 11\end{array} \right.\)
Đáp án cần chọn là: a
Toán Lớp 12
