Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho ba điểm $A\left( {3;0;0} \right),\,\,B\left( {1;2;1} \right)$ và $C\left( {2; - \,1;2} \right).$ Biết mặt phẳng qua $B,\,\,C$ và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {10;a;b} \right).$ Tổng $a + b$ là
Phương pháp giải
Sử dụng tính chất của mặt cầu nội tiếp tứ diện để tìm phương trình mặt phẳng
Lời giải của Tự Học 365
Phương trình mặt phẳng $\left( {OBC} \right)$ là $x - z = 0.$
Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $5x + 3y + 4z - 15 = 0.$
Gọi $I\left( {x;y;z} \right)$ là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện $OABC$$ \Rightarrow \,\,d\left( {I;\left( {OBC} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {ABC} \right)} \right)$
$\dfrac{{\left| {x - z} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\left| {5x + 3y + 4z - 15} \right|}}{{5\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left| {5x - 5z} \right| = \left| {5x + 3y + 4z - 15} \right|$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y + 3z - 5 = 0\\10x + 3y - z - 15 = 0\end{array} \right.$
Mà mặt phẳng cần tìm có dạng $10x + ay + bz + d = 0$$ \Rightarrow \,\,I \in \left( \alpha \right):10x + 3y - z - 15 = 0.$
Đáp án cần chọn là: c
Toán Lớp 12
